Verdadeiro (V) ou Falso (F). Justifique sua resposta.
Considere o sistema linear A X=B onde A \in M_{m \times n}(R), X \in R^{n} e B \in R^{m}
a) Se m<n o sistema linear sempre tem solução.
b) Se m=n, A é invertível.
c) Se o posto de A é menor do que n então o sistema não tem solução.
d) Se o posto de A é igual a n então o sistema tem solução única.
e) Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única.

Passo 1

Estamos diante do sistema linear A X = B, com A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}), X\in\mathbb{R}^n e B\in\mathbb{R}^m. Para decidir verdadeiros ou falsos, vamos usar conceitos de posto de matriz, existência e unicidade de solução e a relação entre núcleo de A e soluções do sistema homogêneo.

Passo 2

a) “Se m<n o sistema linear sempre tem solução.”
Como m<n há mais incógnitas do que equações, mas isso não garante consistência para todo B. Por exemplo, se m=1, n=2 e A=[1\;\,0], o sistema
x_1 + 0\cdot x_2 = 1
é consistente, mas para B=[2] x_1=2 e qualquer x_2; já para B=[1] há soluções infinitas; porém para B=[1] ou B=[3] sempre existe solução. Se escolhemos B fora da imagem de A, por exemplo A=[0\;0] e B=[1], não há solução. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

b) “Se m=n, A é invertível.”
Só porque a matriz é quadrada m=n não implica posto máximo. Por exemplo,
A = \begin{pmatrix}1&2\\\ 2&4\end{pmatrix}
tem m=n=2 mas \det(A)=0, logo não é invertível. Portanto, falso.

Passo 4

c) “Se o posto de A é menor do que n então o sistema não tem solução.”
Posto menor que n significa que \dim\ker(A)>0, isto é, o sistema homogêneo tem soluções não triviais, mas isso não impede que exista solução para A X=B. Se \operatorname{rank}(A)=r<n e \operatorname{rank}([A\mid B])=r, então há infinitas soluções; se \operatorname{rank}([A\mid B])=r+1, não há solução. Logo, não é verdade que sempre não há solução. A afirmação é falsa.

Passo 5

d) “Se o posto de A é igual a n então o sistema tem solução única.” \operatorname{rank}(A)=n implica núcleo trivial \ker(A)=\{0\}, ou seja, se o sistema é consistente, a solução é única. Mas nem todo B estará na imagem de A (se n<m), então para alguns B o sistema pode ser inconsistente. Portanto, não há garantia de existência para todo B. A afirmação como está (diz “tem solução única” sem condição de consistência) é falsa.

Passo 6

e) “Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única.”
Ter solução única no homogêneo significa \ker(A)=\{0\}. Isso garante que, se A X=B for consistente, a solução será única (porque toda diferença de duas soluções estaria no núcleo). Mas não garante que A X=B seja consistente para todo B. Logo, o sistema não necessariamente “tem” solução (pode não ter) e só quando existir será única. Dado o enunciado, a afirmação é falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) F
d) F
e) F

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