Verdadeiro (V) ou Falso (F). Justifique sua resposta.
Considere o sistema linear
onde
e
a) Se
o sistema linear sempre tem solução.
b) Se
, A é invertível.
c) Se o posto de A é menor do que
então o sistema não tem solução.
d) Se o posto de A é igual a
então o sistema tem solução única.
e) Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única.
a) Se
b) Se
c) Se o posto de A é menor do que
d) Se o posto de A é igual a
e) Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única.
Passo 1
Estamos diante do sistema linear
, com
,
e
. Para decidir verdadeiros ou falsos, vamos usar conceitos de posto de matriz, existência e unicidade de solução e a relação entre núcleo de
e soluções do sistema homogêneo.
Passo 2
a) “Se
o sistema linear sempre tem solução.”
Como há mais incógnitas do que equações, mas isso não garante consistência para todo
. Por exemplo, se
,
e
, o sistema
Como
é consistente, mas para
dá
e qualquer
; já para
há soluções infinitas; porém para
ou
sempre existe solução. Se escolhemos
fora da imagem de
, por exemplo
e
, não há solução. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
b) “Se
,
é invertível.”
Só porque a matriz é quadrada não implica posto máximo. Por exemplo,
Só porque a matriz é quadrada
tem
mas
, logo não é invertível. Portanto, falso.
Passo 4
c) “Se o posto de
é menor do que
então o sistema não tem solução.”
Posto menor que significa que
, isto é, o sistema homogêneo tem soluções não triviais, mas isso não impede que exista solução para
. Se
e
, então há infinitas soluções; se
, não há solução. Logo, não é verdade que sempre não há solução. A afirmação é falsa.
Posto menor que
Passo 5
d) “Se o posto de
é igual a
então o sistema tem solução única.”
implica núcleo trivial
, ou seja, se o sistema é consistente, a solução é única. Mas nem todo
estará na imagem de
(se
), então para alguns
o sistema pode ser inconsistente. Portanto, não há garantia de existência para todo
. A afirmação como está (diz “tem solução única” sem condição de consistência) é falsa.
Passo 6
e) “Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única.”
Ter solução única no homogêneo significa . Isso garante que, se
for consistente, a solução será única (porque toda diferença de duas soluções estaria no núcleo). Mas não garante que
seja consistente para todo
. Logo, o sistema não necessariamente “tem” solução (pode não ter) e só quando existir será única. Dado o enunciado, a afirmação é falsa.
Ter solução única no homogêneo significa
Resposta
a) F
b) F
c) F
d) F
e) F
b) F
c) F
d) F
e) F