Dado o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}x+\alpha y-z=0 \\\\ -y+2 z=\beta \\\ \alpha x+z=0\end{array}\right., determine os valores dos números reais \alpha e \beta para que o sistema seja
a) S.I.
b) S.P.D.
c) S.P.I.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + \alpha y - z = 0,\\\\ -\,y + 2z = \beta,\\\ \alpha x + z = 0
com incógnitas x,y,z e parâmetros reais \alpha e \beta.
O que precisamos é estudar quando ele tem solução única (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Para isso vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e, quando esse determinante for zero, verificar a consistência pelo posto da matriz aumentada.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & -1\\\\ 0 & -1 & 2\\\ \alpha & 0 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & -1\\\\ 0 & -1 & 2\\\ \alpha & 0 & 1 \end{vmatrix} =2\alpha^2-\alpha-1=(2\alpha+1)(\alpha-1).
Logo \det(A)\neq0 exatamente quando \alpha\neq1 e \alpha\neq-1/2.

Passo 3

Se \det(A)\neq0, o sistema é sempre possível e determinado (SPD), independentemente de \beta.

Passo 4

Agora consideramos os casos em que \det(A)=0, ou seja \alpha=1 ou \alpha=-\tfrac12.
Em ambos os casos fazemos eliminação de Gauss na matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] e vemos que, após pivoteamentos, surge uma linha “ 0= -\beta”. Isso só é consistente se \beta=0.
  • Se \alpha=1 ou \alpha=-\tfrac12 e \beta=0, o posto da matriz de coeficientes cai para 2 e o posto da aumentada também é 2, gerando infinitas soluções (SPI).
  • Se \alpha=1 ou \alpha=-\tfrac12 e \beta\neq0, o posto da aumentada é 3 enquanto o de A é 2, e o sistema torna-se impossível (SI).

Resposta

a) Sistema impossível (SI) se e só se
\alpha\in\{1,\,-\tfrac12\} \quad\text{e}\quad \beta\neq0.
b) Sistema possível e determinado (SPD) se e só se
\alpha\neq1 \quad\text{e}\quad \alpha\neq-\,\tfrac12,
para todo \beta\in\mathbb{R}.
c) Sistema possível e indeterminado (SPI) se e só se
\alpha\in\{1,\,-\tfrac12\} \quad\text{e}\quad \beta=0.

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