Considere o sistema linear homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=3 x+4 y \\\ y^{\prime}=-4 x+3 y \end{array}\right.
(a) Escreva o sistema na forma matricial \vec{X}^{\prime}=A \vec{X}.
(b) Encontre os autovalores e autovetores de A.
(c) Determine a solução geral do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x' = 3x + 4y,\\\ y' = -4x + 3y \end{cases}
e pede:
  1. escrever na forma matricial \vec X' = A\vec X,
  2. encontrar autovalores e autovetores de A,
  3. determinar a solução geral.
    Vamos usar teoria de sistemas lineares homogêneos, polinômio característico e combinação de partes reais e imaginárias das soluções complexas.

Passo 2

Definindo \vec X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, buscamos A tal que
\vec X' = A\,\vec X.
Como x' = 3x+4y e y'=-4x+3y, temos
A = \begin{pmatrix} 3 & 4\\\\ -4 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 4\\\ -4 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)^2 +16.
Igualando a zero,
(3-\lambda)^2 +16 =0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 3 \pm 4\,i.

Passo 4

Para \lambda_1 = 3+4i, resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0:
\begin{pmatrix}-4i & 4\\\ -4 & -4i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -4i\,v_1 +4\,v_2=0
de onde v_2 = i\,v_1. Podemos escolher
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = 3-4i, o autovetor é o conjugado
v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ -\,i\end{pmatrix}.

Passo 5

Como os autovalores são complexos conjugados e os autovetores também, a solução real geral é dada por combinações lineares de \Re\{v^{(1)}e^{\lambda_1 t}\} e \Im\{v^{(1)}e^{\lambda_1 t}\}. Calculando
v^{(1)}e^{(3+4i)t} = e^{3t} \begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix} (\cos4t + i\sin4t) = e^{3t} \begin{pmatrix} \cos4t + i\sin4t\\\ i\cos4t -\sin4t \end{pmatrix},
temos
\Re = e^{3t}\begin{pmatrix}\cos4t\\\\ -\sin4t\end{pmatrix}, \quad \Im = e^{3t}\begin{pmatrix}\sin4t\\\ \cos4t\end{pmatrix}.
Logo a solução geral real é
\vec X(t) = C_1\,e^{3t}\begin{pmatrix}\cos4t\\\\ -\sin4t\end{pmatrix} + C_2\,e^{3t}\begin{pmatrix}\sin4t\\\ \cos4t\end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec X' = A\,\vec X, com
A = \begin{pmatrix}3 & 4\\\ -4 & 3\end{pmatrix}, \vec X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. (b) Os autovalores são \lambda_{1,2} = 3 \pm 4\,i.
Um par de autovetores correspondentes é \displaystyle v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix} para \lambda_1
e \displaystyle v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ -\,i\end{pmatrix} para \lambda_2.
(c) A solução geral real é
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_1\,e^{3t}\begin{pmatrix}\cos4t\\\\ -\sin4t\end{pmatrix} + C_2\,e^{3t}\begin{pmatrix}\sin4t\\\ \cos4t\end{pmatrix},
com constantes C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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