\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=3 x+4 y \\\ y^{\prime}=-4 x+3 y \end{array}\right.
(a) Escreva o sistema na forma matricial \vec{X}^{\prime}=A \vec{X}.
(b) Encontre os autovalores e autovetores de A.
(c) Determine a solução geral do sistema.
determinar a solução geral.
Vamos usar teoria de sistemas lineares homogêneos, polinômio característico e combinação de partes reais e imaginárias das soluções complexas.
Passo 2
Definindo \vec X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, buscamos A tal que
\vec X' = A\,\vec X.
Como x' = 3x+4y e y'=-4x+3y, temos
A = \begin{pmatrix} 3 & 4\\\\ -4 & 3 \end{pmatrix}.
Passo 3
Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
Como os autovalores são complexos conjugados e os autovetores também, a solução real geral é dada por combinações lineares de \Re\{v^{(1)}e^{\lambda_1 t}\} e \Im\{v^{(1)}e^{\lambda_1 t}\}. Calculando
A = \begin{pmatrix}3 & 4\\\ -4 & 3\end{pmatrix},\vec X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. (b) Os autovalores são \lambda_{1,2} = 3 \pm 4\,i.
Um par de autovetores correspondentes é \displaystyle v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix} para \lambda_1
e \displaystyle v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ -\,i\end{pmatrix} para \lambda_2.