A equação de Euler-Bernoulli para a deflexão y(x) de uma viga engastada sob carga distribuída é dada por:
E I \frac{d^{4} y}{d x^{4}}=q(x)
(a) Considerando E I constante e q(x)=q_{0} (carga constante), resolva a equação para y(x).
(b) Apresente a solução geral e explique o significado físico das constantes de integração neste contexto.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Bernoulli para a deflexão y(x) de uma viga com rigidez E I constante e carga distribuída constante q(x)=q_{0}:
E I \,\frac{d^{4}y}{dx^{4}}=q_{0}.
O objetivo é integrar essa EDO de quarta ordem para encontrar y(x).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por E I, obtemos
\frac{d^{4}y}{dx^{4}}=\frac{q_{0}}{E I}.

Passo 3

Integramos uma vez em relação a x:
\frac{d^{3}y}{dx^{3}} =\int \frac{q_{0}}{E I}\,dx =\frac{q_{0}}{E I}\,x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 4

Integramos pela segunda vez:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\int\Bigl(\frac{q_{0}}{E I}\,x + C_{1}\Bigr)dx =\frac{q_{0}}{2E I}\,x^{2}+C_{1}\,x + C_{2}.

Passo 5

Integramos pela terceira vez:
\frac{dy}{dx} =\int\Bigl(\frac{q_{0}}{2E I}\,x^{2}+C_{1}\,x + C_{2}\Bigr)dx =\frac{q_{0}}{6E I}\,x^{3}+\frac{C_{1}}{2}\,x^{2}+C_{2}\,x + C_{3}.

Passo 6

Finalmente, integramos pela quarta vez para obter y(x):
y(x) =\int\Bigl(\frac{q_{0}}{6E I}\,x^{3}+\frac{C_{1}}{2}\,x^{2}+C_{2}\,x + C_{3}\Bigr)dx =\frac{q_{0}}{24E I}\,x^{4}+\frac{C_{1}}{6}\,x^{3}+\frac{C_{2}}{2}\,x^{2}+C_{3}\,x + C_{4}.

Passo 7

Cada constante de integração tem significado físico quando interpretamos
\displaystyle M(x)=E I\,y''(x) (momento fletor) e
\displaystyle V(x)=E I\,y'''(x) (esforço cortante):
  • C_{1}=y'''(0)=\tfrac{V(0)}{E I} está associado à força cortante no ponto de referência.
  • C_{2}=y''(0)=\tfrac{M(0)}{E I} está associado ao momento fletor no ponto de referência.
  • C_{3}=y'(0) é a inclinação (rotação) da viga nesse ponto.
  • C_{4}=y(0) é a deflexão inicial nesse ponto.

Resposta

\boxed{y(x) =\frac{q_{0}}{24E I}\,x^{4} +\frac{C_{1}}{6}\,x^{3} +\frac{C_{2}}{2}\,x^{2} +C_{3}\,x +C_{4},}
com C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} determinadas pelas condições de contorno (força cortante, momento fletor, inclinação e deflexão iniciais).

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