Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 7056? Quantos divisores são pares? Quantos divisores são ímpares? Quantos são múltiplos de 3 ? Quantos não são quadrados perfeitos?

Passo 1

O enunciado pede várias contagens de divisores de um número inteiro: quantos divisores inteiros e positivos tem o número 7056, quantos são pares, ímpares, múltiplos de 3 e quantos não são quadrados perfeitos. O conteúdo principal aqui é a fatoração em primos de 7056 e depois usar as fórmulas de contagem de divisores.

Passo 2

Vamos fatorar 7056. Observamos que
7056 = 16 \times 441
e que 16 = 2^4 e 441 = 21^2 = 3^2 \times 7^2. Logo,
7056 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2.

Passo 3

Para um número n = p_1^{a} p_2^{b} p_3^{c}, o total de divisores positivos é
d(n) = (a+1)(b+1)(c+1).
Aqui a=4, b=2, c=2, então
d(7056) = (4+1)(2+1)(2+1) = 5 \times 3 \times 3 = 45.

Passo 4

– Divisores pares são aqueles em que o expoente de 2 vai de 1 a 4 (4 opções), o de 3 de 0 a 2 (3 opções) e o de 7 de 0 a 2 (3 opções).
\#\{\text{pares}\} = 4 \times 3 \times 3 = 36.
– Divisores ímpares têm expoente de 2 igual a 0 (1 opção), e os outros como antes:
\#\{\text{ímpares}\} = 1 \times 3 \times 3 = 9.í

Passo 5

Divisores múltiplos de 3 exigem expoente de 3\ge1 (2 opções: 1 ou 2), enquanto expoente de 2 pode ser 0…4 (5 opções) e de 7 0…2 (3 opções).
\#\{\text{múltiplos de 3}\} = 5 \times 2 \times 3 = 30.ú

Passo 6

Divisores que são quadrados perfeitos têm todos os expoentes pares: para 2 as opções são \{0,2,4\} (3), para 3 são \{0,2\} (2) e para 7 são \{0,2\} (2).
\#\{\text{quadrados}\} = 3 \times 2 \times 2 = 12.
Logo, divisores que não são quadrados perfeitos:
45 - 12 = 33.

Resposta

Divisores inteiros e positivos: 45
Divisores pares: 36
Divisores ímpares: 9
Múltiplos de 3: 30
Não são quadrados perfeitos: 33

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