Considere o sistema linear homogêneo
\left\{\begin{array}{l} -x+2 y+z=0 \\\\ 2 x-y+z=0 \end{array}\right.
Mostre que o conjunto solução é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Determine uma base do conjunto do conjunto solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^3\) \[\begin{cases} -x + 2y + z = 0,\\\\ 2x - y + z = 0, \end{cases}
e pede para mostrar que o conjunto solução S\subseteq\mathbb{R}^3\] é um subespaço vetorial e determinar uma base de \(S. O conteúdo envolvido é reconhecimento de subespaço (em particular, kernel de uma aplicação linear) e solução de sistemas lineares homogêneos por eliminação.

Passo 2

Mostramos que S\) é subespaço de \(\mathbb{R}^3\) verificando que é o kernel de uma aplicação linear ou, diretamente, que satisfaz: 1. O vetor nulo \((0,0,0)\) resolve o sistema homogêneo, logo \((0,0,0)\in S\). 2. Se \(u=(x_1,y_1,z_1)\) e \(v=(x_2,y_2,z_2)\) estão em \(S\), então cada equação é linear, portanto \[\begin{cases} -(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0+0=0,\\\\ 2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0+0=0 \end{cases}
ou seja, u+v\in S\]. 3. Se \[u=(x,y,z)\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então
\begin{cases} -\lambda x+2(\lambda y)+(\lambda z)=\lambda\bigl(-x+2y+z\bigr)=0,\\\\ 2(\lambda x)-\lambda y+\lambda z=\lambda\bigl(2x-y+z\bigr)=0, \end{cases}
logo \lambda u\in S\]. Pelas três propriedades, \(S é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para encontrar S, resolvemos o sistema: da primeira equação
-x+2y+z=0\quad\Longrightarrow\quad x=2y+z.
Substituindo em
2x - y + z = 0
temos
2(2y+z)-y+z=0 \quad\Longrightarrow\quad 4y+2z-y+z=0 \quad\Longrightarrow\quad 3y+3z=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-z.
Logo x=2(-z)+z=-z. Tomando z=t livre em \mathbb{R}, qualquer solução é
(x,y,z)=\bigl(-t,-t,t\bigr) = t\,(-1,-1,1).

Passo 4

Concluímos que
S=\{\,t(-1,-1,1)\mid t\in\mathbb{R}\} =\operatorname{Span}\{(-1,-1,1)\},
ou seja, S é uma reta passando pela origem em \mathbb{R}^3 de dimensão 1. Portanto, uma base de S é
\{\,(-1,-1,1)\}.

Resposta

O conjunto solução é um subespaço de \mathbb{R}^3 e uma base do conjunto solução é \{(-1,-1,1)\}.

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