Mostre que o conjunto solução é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Determine uma base do conjunto do conjunto solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^3\)
\[\begin{cases} -x + 2y + z = 0,\\\\ 2x - y + z = 0, \end{cases}
e pede para mostrar que o conjunto solução S\subseteq\mathbb{R}^3\] é um subespaço vetorial e determinar uma base de \(S. O conteúdo envolvido é reconhecimento de subespaço (em particular, kernel de uma aplicação linear) e solução de sistemas lineares homogêneos por eliminação.
Passo 2
Mostramos que S\) é subespaço de \(\mathbb{R}^3\) verificando que é o kernel de uma aplicação linear ou, diretamente, que satisfaz:
1. O vetor nulo \((0,0,0)\) resolve o sistema homogêneo, logo \((0,0,0)\in S\).
2. Se \(u=(x_1,y_1,z_1)\) e \(v=(x_2,y_2,z_2)\) estão em \(S\), então cada equação é linear, portanto
\[\begin{cases} -(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0+0=0,\\\\ 2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0+0=0 \end{cases}
ou seja, u+v\in S\].
3. Se \[u=(x,y,z)\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então