Seja M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes reais 2 \times 2 e considere os seguintes subconjuntos:
U=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): \operatorname{tr} A=0\right\}, \quad W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): A^{2}=A\right\}
Lembrar que se A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right), então o traço de A é o valor a+d.
Mostrar que U é subespaço vetorial de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define
U = \{A \in M_{2\times2}(\mathbb{R}) : \tr A = 0\},
onde, se A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}, então \tr A = a + d. Queremos mostrar que U é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. Mostrar que a matriz zero pertence a U.
  2. Mostrar que U é fechado para soma.
  3. Mostrar que U é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que a matriz zero O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix} pertence a U.
Como \tr O = 0 + 0 = 0, temos O\in U. Logo, U\neq\emptyset.]

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam A,B\in U. Então
\tr A = 0 \quad\text{e}\quad \tr B = 0.
Como o traço é linear,
\tr(A + B) = \tr A + \tr B = 0 + 0 = 0.
Portanto A + B\in U.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e A\in U. Como \tr A = 0, temos
\tr(\lambda A) = \lambda\,\tr A = \lambda\cdot 0 = 0.
Logo \lambda A\in U.

Resposta

U é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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