Mostre que o conjunto de vetores \left\{1, x, x^{2}, 2+x+x^{2}\right\} de P_{3}\left(\mathbb{R}^{3}\right) é L.D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de polinômios \{1,\;x,\;x^{2},\;2+x+x^{2}\} em P_{3}(\mathbb{R}) é linearmente dependente.
Aqui o conteúdo é definição de dependência linear: existe combinação linear não trivial que dá o polinômio zero.

Passo 2

Lembrando que em P_{3}(\mathbb{R}) um conjunto \{p_{1},\dots,p_{n}\} é L.D. se existem escalares não todos nulos a_{1},\dots,a_{n} tais que
a_{1}p_{1}(x)+\cdots+a_{n}p_{n}(x)\equiv 0
em todos os x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Observe que o quarto vetor já é combinação dos três primeiros, pois
2+x+x^{2} = 2\cdot 1 + 1\cdot x + 1\cdot x^{2}.
Logo, podemos escrever
(-2)\cdot 1 \;+\;(-1)\cdot x\;+\;(-1)\cdot x^{2}\;+\;1\cdot(2+x+x^{2}) \;\equiv\;0.
Aqui os coeficientes (-2,-1,-1,1) não são todos zero, provando a dependência linear.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois
-2\cdot1 \;-\;1\cdot x\;-\;1\cdot x^{2}\;+\;1\cdot(2+x+x^{2}) \;=\;0.

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