Considere o sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dada por
(a) O sistema é causal? O sistema é BIBO-Estável?
(b) Determine a representação do sistema como uma relação entrada-saída, isto é, a expressão da saída em função de uma entrada qualquer,

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI com resposta ao impulso
h(t)=2,de<a(t-1)+u(t+2)
e pede:
– verificar se ele é causal;
– verificar se ele é BIBO‐estável;
– determinar a relação entrada‐saída y(t)=Gx(t).
Para isso usamos:
  1. Definição de causalidade em LTI: o sistema é causal se e só se h(t)=0 para todo t<0.
  2. Critério de BIBO‐estabilidade: o sistema é BIBO‐estável se integral-infty^infty|h(t)|,dt<infty.
  3. Convolução para LTI:
y(t)=x(t)*h(t)=integral-infty^inftyh(tau),x(t-tau),dtau

Passo 2

Para checar causalidade, observamos h(t):
de<a(t-1) só atua em t=1>=0, mas u(t+2) vale 1 sempre que t+2>=0, ou seja, para t>=-2. Como u(t+2)neq0 já em t=-1<0, temos h(t)neq0 para tempos negativos. Logo o sistema não é causal.

Passo 3

Para BIBO‐estabilidade, calculamos
integral-infty^infty|h(t)|,dt =integral-infty^inftyl|2,de<a(t-1)r|,dt +integral-infty^inftyu(t+2),dt
O primeiro termo vale 2. O segundo é
integral-infty^inftyu(t+2),dt =integral-2^infty1,dt =+infty
Logo integral|h(t)|,dt=+infty, e o sistema não é BIBO‐estável.

Passo 4

Escrevemos a convolução e separamos os dois termos de h(t):
y(t) =integral-infty^inftyl[2,de<a(tau-1)+u(tau+2)r]x(t-tau),dtau =2integral-infty^inftyde<a(tau-1)x(t-tau),dtau +integral-infty^inftyu(tau+2),x(t-tau),dtau

Passo 5

No primeiro termo, usamos a propriedade da delta:
2integral-infty^inftyde<a(tau-1),x(t-tau),dtau =2,xl(t-1r)

Passo 6

No segundo termo, u(tau+2)=1 para tau>=-2, então
integral-infty^inftyu(tau+2),x(t-tau),dtau =integral-2^inftyx(t-tau),dtau
Fazendo a troca de variável s=t-tau, temos tau=-2Rightarrow s=t+2 e tautoinftyRightarrow sto-infty, com dtau=-ds. Logo
integral-2^inftyx(t-tau),dtau =integrals=t+2^-inftyx(s),(-ds) =integral-infty^,t+2x(s),ds

Passo 7

Juntando as duas partes, obtemos
y(t)=2,x(t-1)+integral-infty^,t+2x(s),ds

Resposta

(a) O sistema não é causal e não é BIBO‐estável.
(b) A relação entrada‐saída é
y(t)=2,x(t-1)+integral-infty^,t+2x(tau),dtau

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