Determine a saída do sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=2 e^-t u(t)
para as seguintes entradas:
x(t)=e^-t u(t)+2 e^2 t u(t)

Passo 1

O sistema é LTI contínuo e causal com resposta ao impulso
h(t)=2e^-tu(t)
A entrada é
x(t)=e^-tu(t)+2e^2tu(t)
Para encontrar a saída y(t) vamos usar a convolução
y(t) = (x*h)(t) = integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau

Passo 2

Por causa da causalidade de x(t) e h(t), a integral efetivamente vai de tau=0 a tau=t. Logo,
y(t) = integral0^t l(e^-tau + 2e^2taur),l[2e^-(t-tau)r],dtau

Passo 3

Separemos em duas integrais:
y(t) = 2integral0^t e^-taue^-(t-tau),dtau + 4integral0^t e^2taue^-(t-tau),dtau

Passo 4

Na primeira integral o integrando é
e^-taue^-(t-tau) = e^-t,
que independe de tau. Então
2integral0^te^-t,dtau =2e^-tintegral0^t1,dtau =2t,e^-t

Passo 5

Na segunda integral temos
e^2taue^-(t-tau) = e^-te^3tau,
portanto
4integral0^te^-te^3tau,dtau =4e^-tintegral0^te^3tau,dtau =4e^-t[e^3tau3]0^t =4e^-t,e^3t-13 =43l(e^2t-e^-tr)

Passo 6

Somando as duas contribuições,
y(t) =2t,e^-t+43l(e^2t-e^-tr) = 43e^2t ;+;e^-tl(2t-43r)
E, como o sistema é causal, multiplicamos por u(t).

Resposta

y(t) =l[tfrac43e^2t ;+;e^-tl(2t-tfrac43r)r],u(t)

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