Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de trajetórias diferentes, é sempre importante saber se eles vão colidir (um míssil atingiu seu alvo em movimento? dois aviões estão prestes a colidir?) As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam dadas pelas seguintes funções vetoriais
r1(t)=lang<= t^2, 7 t-12, t^2rang<= r2(t)=lang<= 4 t-3, t^2, 17-3 trang<=
para t >= 0. As partículas colidem?

Passo 1

O enunciado nos dá duas trajetórias paramétricas de partículas para t>=0:
r1(t)=lang<= t^2,,7t-12,,t^2rang<=, r2(t)=lang<= 4t-3,,t^2,,17-3trang<=
Queremos saber se existe algum instante t>=0 tal que
r1(t)=r2(t),
isto é, se as partículas ocupam a mesma posição ao mesmo tempo.

Passo 2

Igualamos cada componente de r1(t) com a correspondente de r2(t), obtendo o sistema
t^2 = 4t - 3, 7t - 12 = t^2, t^2 = 17 - 3t

Passo 3

Resolvendo as duas primeiras equações:
t^2-4t+3=0Longrightarrow t=1;ou;t=3,
t^2-7t+12=0Longrightarrow t=3;ou;t=4
O único valor comum é t=3.

Passo 4

Verificamos t=3 na terceira equação:
t^2=9, 17-3t=17-9=8,
mas 9neq8. Logo não há nenhum t>=0 que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

As partículas não colidem.

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