Interpretação simples: cada \beta_i mede, de forma ponderada, a influência das outras incógnitas na equação i, usando os \beta_j já calculados para as linhas anteriores. Se
\max_{i}\beta_i<1
então o critério de Sassenfeld afirma que o método de Gauss–Seidel (iterações) converge para a solução a partir de qualquer inicial; portanto dizemos que o critério é satisfeito. Se a máxima \beta_i for maior ou igual a 1, o critério NÃO é atendido (isto não prova que Gauss–Seidel diverge; apenas não garante convergência).
Passo 3
Vou extrair explicitamente os coeficientes a_{ij} das equações (peguei estes coeficientes do enunciado):
a_{11}=1,\\ a_{12}=0,\\ a_{13}=-1.
a_{21}=-0,5,\\ a_{22}=1,\\ a_{23}=-0,25.
a_{31}=1,\\ a_{32}=-0,5,\\ a_{33}=1.
Vou usar os valores absolutos |a_{ij}| nas fórmulas do Sassenfeld.
\beta_3=1,375.
O máximo é \max\{\beta_i\}=1,375, que é maior que 1. Pelo critério de Sassenfeld, para garantir convergência do Gauss–Seidel precisaríamos ter \max\{\beta_i\}<1. Como isso NÃO ocorre, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para este sistema.
Passo 8
Interpretação final e incentivo:
Conclusão técnica: o critério de Sassenfeld falha (não é satisfeito), logo não se pode garantir a convergência do método de Gauss–Seidel a partir desse critério.
Observação prática: isso não prova que Gauss–Seidel diverge; apenas que este critério não assegura convergência. Em prova, basta dizer que o critério não é satisfeito e mostrar os cálculos acima.
Você já fez o essencial: calculou \beta_1,\beta_2,\beta_3 passo a passo. Está indo bem — respira fundo e confia que agora dá pra explicar isso na prova sem medo.
Resposta
Não, o critério de Sassenfeld não é satisfeito, pois \beta_{1}=1, \beta_{2}=0,75, \beta_{3}=1,375 e \max\{\beta_{i}\}=1,375>1.