Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{3}=0,2 \\\\ -0,5 x_{1}+x_{2}-0,25 x_{3}=-1,425 \\\ x_{1}-0,5 x_{2}+x_{3}=2 \end{array}\right.
Verifique se o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema linear satisfaz o critério de Sassenfeld. O sistema fornecido é
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{3}=0,2 \\\\ -0,5 x_{1}+x_{2}-0,25 x_{3}=-1,425 \\\ x_{1}-0,5 x_{2}+x_{3}=2 \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes da matriz A (linha a linha) são:
    • Linha 1: a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=-1.
    • Linha 2: a_{21}=-0,5, a_{22}=1, a_{23}=-0,25.
    • Linha 3: a_{31}=1, a_{32}=-0,5, a_{33}=1.
  • O vetor independente é (0,2,\,-1,425,\,2)^{T} (informação dada, usada apenas se necessário).
  • A pergunta específica: aplicar o critério de Sassenfeld e decidir se ele é satisfeito para este sistema.

Passo 2

O que é o critério de Sassenfeld e como vamos aplicá-lo (breve aula):
  • Dado o sistema A x=b com A=(a_{ij}) e assumindo que nenhum a_{ii} é zero, define-se uma sequência \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n por
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|
e, para i\ge 2,
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right).
  • Interpretação simples: cada \beta_i mede, de forma ponderada, a influência das outras incógnitas na equação i, usando os \beta_j já calculados para as linhas anteriores. Se
\max_{i}\beta_i<1
então o critério de Sassenfeld afirma que o método de Gauss–Seidel (iterações) converge para a solução a partir de qualquer inicial; portanto dizemos que o critério é satisfeito. Se a máxima \beta_i for maior ou igual a 1, o critério NÃO é atendido (isto não prova que Gauss–Seidel diverge; apenas não garante convergência).

Passo 3

Vou extrair explicitamente os coeficientes a_{ij} das equações (peguei estes coeficientes do enunciado):
  • a_{11}=1,\\ a_{12}=0,\\ a_{13}=-1.
  • a_{21}=-0,5,\\ a_{22}=1,\\ a_{23}=-0,25.
  • a_{31}=1,\\ a_{32}=-0,5,\\ a_{33}=1.
    Vou usar os valores absolutos |a_{ij}| nas fórmulas do Sassenfeld.

Passo 4

Calcular \beta_1 usando a fórmula:
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{3}|a_{1j}|=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}.
Substituindo os valores:
\beta_1=\frac{0+1}{1}=1.
Comentário: isso significa que, pela primeira linha, a soma das influências das incógnitas x_2,x_3 relativa ao termo principal é igual a 1.

Passo 5

Calcular \beta_2 usando a fórmula recursiva:
\beta_2=\frac{1}{|a_{22}|}\left(|a_{21}|\beta_1+\sum_{j=3}^{3}|a_{2j}|\right)=\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|}.
Substituindo:
\beta_2=\frac{0,5\cdot 1 + 0,25}{1}=0,5+0,25=0,75.
Comentário: aqui a influência da linha 1 entra multiplicada por \beta_1, porque j=1<i=2.

Passo 6

Calcular \beta_3 com a mesma ideia:
\beta_3=\frac{1}{|a_{33}|}\left(|a_{31}|\beta_1 + |a_{32}|\beta_2 + \sum_{j=4}^{3}|a_{3j}|\right).
Como não há termos com j>3, a última soma é zero. Substituindo:
\beta_3=\frac{1\cdot 1 + 0,5\cdot 0,75}{1}=1 + 0,375=1,375.

Passo 7

Comparar as \beta_i e aplicar o critério:
  • \beta_1=1.
  • \beta_2=0,75.
  • \beta_3=1,375.
    O máximo é \max\{\beta_i\}=1,375, que é maior que 1. Pelo critério de Sassenfeld, para garantir convergência do Gauss–Seidel precisaríamos ter \max\{\beta_i\}<1. Como isso NÃO ocorre, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para este sistema.

Passo 8

Interpretação final e incentivo:
  • Conclusão técnica: o critério de Sassenfeld falha (não é satisfeito), logo não se pode garantir a convergência do método de Gauss–Seidel a partir desse critério.
  • Observação prática: isso não prova que Gauss–Seidel diverge; apenas que este critério não assegura convergência. Em prova, basta dizer que o critério não é satisfeito e mostrar os cálculos acima.
  • Você já fez o essencial: calculou \beta_1,\beta_2,\beta_3 passo a passo. Está indo bem — respira fundo e confia que agora dá pra explicar isso na prova sem medo.

Resposta

Não, o critério de Sassenfeld não é satisfeito, pois \beta_{1}=1, \beta_{2}=0,75, \beta_{3}=1,375 e \max\{\beta_{i}\}=1,375>1.

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