Dada a aproximação inicial x^{(0)}=(3,2,-1)^{T}, encontre as aproximações sucessivas x^{(1)}, x^{(2)} e x^{(3)} usando o método de Jacobi.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com matriz de coeficientes, vetor incógnitas e vetor termo independente, e pede as três primeiras iterações a partir de uma aproximação inicial. As informações relevantes são:
O que se pede: calcular x^{(1)}, x^{(2)} e x^{(3)} usando um método iterativo apropriado (as iterações sucessivas a partir de x^{(0)}).]
Passo 2
Vou usar a regra iterativa que calcula cada componente isolando a variável correspondente na sua equação (a cada iteração usamos os valores antigos para as outras componentes). A versão deste passo ensina a fórmula e o porquê, de forma bem prática.
Seja a equação Ax=b. Para cada linha i da matriz, escrevemos
x_i^{(k)} é a aproximação da i-ésima componente na iteração k;
a_{ii} é o coeficiente da variável x_i na i-ésima equação;
o somatório \sum_{j\ne i}a_{ij}\,x_j^{(k)} representa a contribuição das outras incógnitas usando os valores da iteração anterior.
Essa é a fórmula que vamos aplicar componente a componente. Importante: em Jacobi (o procedimento que estamos aplicando), todas as componentes x_j^{(k)} usadas no lado direito são da iteração anterior k — não atualizamos e reusamos um valor já atualizado na mesma iteração.