Considere o sistema linear
\left(\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 5 \\\\ 1 & 4 & -2 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\\\ 3 \\\\ 1 \end{array}\right)
Dada a aproximação inicial x^{(0)}=(3,2,-1)^{T}, encontre as aproximações sucessivas x^{(1)}, x^{(2)} e x^{(3)} usando o método de Jacobi.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com matriz de coeficientes, vetor incógnitas e vetor termo independente, e pede as três primeiras iterações a partir de uma aproximação inicial. As informações relevantes são:
A matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 5\\[4pt] 1 & 4 & -2\\[4pt] -1 & 1 & -3 \end{pmatrix},
o vetor termo independente
b=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},
e a aproximação inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O que se pede: calcular x^{(1)}, x^{(2)} e x^{(3)} usando um método iterativo apropriado (as iterações sucessivas a partir de x^{(0)}).]

Passo 2

Vou usar a regra iterativa que calcula cada componente isolando a variável correspondente na sua equação (a cada iteração usamos os valores antigos para as outras componentes). A versão deste passo ensina a fórmula e o porquê, de forma bem prática.
Seja a equação Ax=b. Para cada linha i da matriz, escrevemos
a_{ii}x_i+\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j=b_i.
Isolando x_i obtemos a fórmula de iteração
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\right).
Aqui:
  • x_i^{(k)} é a aproximação da i-ésima componente na iteração k;
  • a_{ii} é o coeficiente da variável x_i na i-ésima equação;
  • o somatório \sum_{j\ne i}a_{ij}\,x_j^{(k)} representa a contribuição das outras incógnitas usando os valores da iteração anterior.
Essa é a fórmula que vamos aplicar componente a componente. Importante: em Jacobi (o procedimento que estamos aplicando), todas as componentes x_j^{(k)} usadas no lado direito são da iteração anterior k — não atualizamos e reusamos um valor já atualizado na mesma iteração.

Passo 3

Calcular x^{(1)} a partir de x^{(0)}.
Usamos as fórmulas componentes:
Componente 1:
x_1^{(1)}=\frac{1}{5}\Big(b_1 - (a_{12}x_2^{(0)}+a_{13}x_3^{(0)})\Big).
Substituindo b_1=-2, a_{12}=-1, a_{13}=5, x_2^{(0)}=2, x_3^{(0)}=-1:
a_{12}x_2^{(0)}+a_{13}x_3^{(0)} = (-1)\cdot 2 + 5\cdot(-1) = -2-5=-7.
x_1^{(1)}=\frac{1}{5}\big(-2-(-7)\big)=\frac{1}{5}(5)=1.
Componente 2:
x_2^{(1)}=\frac{1}{4}\Big(b_2 - (a_{21}x_1^{(0)}+a_{23}x_3^{(0)})\Big).
Substituindo b_2=3, a_{21}=1, a_{23}=-2, x_1^{(0)}=3, x_3^{(0)}=-1:
a_{21}x_1^{(0)}+a_{23}x_3^{(0)} = 1\cdot 3 + (-2)\cdot(-1)=3+2=5.
x_2^{(1)}=\frac{1}{4}(3-5)=\frac{1}{4}(-2)=-\frac{1}{2}.
Componente 3:
x_3^{(1)}=\frac{1}{-3}\Big(b_3 - (a_{31}x_1^{(0)}+a_{32}x_2^{(0)})\Big).
Substituindo b_3=1, a_{31}=-1, a_{32}=1, x_1^{(0)}=3, x_2^{(0)}=2:
a_{31}x_1^{(0)}+a_{32}x_2^{(0)} = (-1)\cdot 3 + 1\cdot 2 = -3+2=-1.
x_3^{(1)}=\frac{1}{-3}(1-(-1))=\frac{1}{-3}(2)=-\frac{2}{3}.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular x^{(2)} a partir de x^{(1)}.
Componente 1:
x_1^{(2)}=\frac{1}{5}\Big(-2 - \big((-1)\cdot x_2^{(1)} + 5\cdot x_3^{(1)}\big)\Big).
Substituindo x_2^{(1)}=-\tfrac{1}{2}, x_3^{(1)}=-\tfrac{2}{3}:
(-1)\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big) + 5\cdot\Big(-\tfrac{2}{3}\Big) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{10}{3} = \frac{3-20}{6} = -\frac{17}{6}.
x_1^{(2)}=\frac{1}{5}\Big(-2 -\big(-\tfrac{17}{6}\big)\Big)=\frac{1}{5}\Big(-2+\tfrac{17}{6}\Big)=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.
Componente 2:
x_2^{(2)}=\frac{1}{4}\Big(3 - \big(1\cdot x_1^{(1)} + (-2)\cdot x_3^{(1)}\big)\Big).
Substituindo x_1^{(1)}=1, x_3^{(1)}=-\tfrac{2}{3}:
1\cdot 1 + (-2)\cdot\Big(-\tfrac{2}{3}\Big)=1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{7}{3}.
x_2^{(2)}=\frac{1}{4}\Big(3-\tfrac{7}{3}\Big)=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{6}.
Componente 3:
x_3^{(2)}=\frac{1}{-3}\Big(1 - \big((-1)\cdot x_1^{(1)} + 1\cdot x_2^{(1)}\big)\Big).
Substituindo x_1^{(1)}=1, x_2^{(1)}=-\tfrac{1}{2}:
(-1)\cdot 1 + 1\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big) = -1 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{3}{2}.
x_3^{(2)}=\frac{1}{-3}\Big(1-(-\tfrac{3}{2})\Big)=\frac{1}{-3}\cdot\frac{5}{2}=-\frac{5}{6}.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\[4pt]\tfrac{1}{6}\\[4pt]-\tfrac{5}{6}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular x^{(3)} a partir de x^{(2)}.
Componente 1:
x_1^{(3)}=\frac{1}{5}\Big(-2 - \big((-1)\cdot x_2^{(2)} + 5\cdot x_3^{(2)}\big)\Big).
Substituindo x_2^{(2)}=\tfrac{1}{6}, x_3^{(2)}=-\tfrac{5}{6}:
(-1)\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\Big(-\frac{5}{6}\Big) = -\frac{1}{6} - \frac{25}{6} = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3}.
x_1^{(3)}=\frac{1}{5}\Big(-2 -\big(-\tfrac{13}{3}\big)\Big)=\frac{1}{5}\Big(-2+\tfrac{13}{3}\Big)=\frac{1}{5}\cdot\frac{7}{3}=\frac{7}{15}.
Componente 2:
x_2^{(3)}=\frac{1}{4}\Big(3 - \big(1\cdot x_1^{(2)} + (-2)\cdot x_3^{(2)}\big)\Big).
Substituindo x_1^{(2)}=\tfrac{1}{6}, x_3^{(2)}=-\tfrac{5}{6}:
1\cdot\frac{1}{6} + (-2)\cdot\Big(-\frac{5}{6}\Big) = \frac{1}{6} + \frac{10}{6} = \frac{11}{6}.
x_2^{(3)}=\frac{1}{4}\Big(3-\frac{11}{6}\Big)=\frac{1}{4}\cdot\frac{7}{6}=\frac{7}{24}.
Componente 3:
x_3^{(3)}=\frac{1}{-3}\Big(1 - \big((-1)\cdot x_1^{(2)} + 1\cdot x_2^{(2)}\big)\Big).
Substituindo x_1^{(2)}=\tfrac{1}{6}, x_2^{(2)}=\tfrac{1}{6}:
(-1)\cdot\frac{1}{6} + 1\cdot\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 0.
x_3^{(3)}=\frac{1}{-3}(1-0)=-\frac{1}{3}.
Portanto
x^{(3)}=\begin{pmatrix}\tfrac{7}{15}\\[4pt]\tfrac{7}{24}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}
x^{(2)}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\[4pt]\tfrac{1}{6}\\[4pt]-\tfrac{5}{6}\end{pmatrix}
x^{(3)}=\begin{pmatrix}\tfrac{7}{15}\\[4pt]\tfrac{7}{24}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}]

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