Resolva o sistema abaixo, com precisão de duas casas decimais, usando o método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial:
\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4 \\\\ 1 & -2 & -2 \\\\ 3 & 5 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right)
(Obs.: O truncamento deve ser aplicado a cada operação aritmética.)

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • O enunciado pede para resolver o sistema linear com precisão de duas casas decimais usando o método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial, aplicando truncamento a cada operação aritmética.
  • O sistema dado é:
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\\\ 1 & -2 & -2 \\\\ 3 & 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{pmatrix}
  • Informação importante: cada operação (divisão, multiplicação, soma, subtração) deve ser seguida de truncamento para duas casas decimais (truncamento para zero). Ao longo da resolução vou mostrar explicitamente quando trunco um resultado.

Passo 2

Montagem da matriz aumentada e escolha do pivô na primeira coluna (pivotamento parcial).
  • Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -2 & -2 & -1\\[4pt] 3 & 5 & -1 & 3 \end{array} \right]
  • Pivotamento parcial na coluna 1: escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas 1 a 3 na coluna 1. Os valores absolutos são |2|=2, |1|=1, |3|=3. O maior é 3 (linha 3). Então trocamos a linha 1 com a linha 3 (troca de linhas não envolve operação aritmética, só permuta).
  • Após a troca, a matriz aumentada fica:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -1 & 3\\[4pt] 1 & -2 & -2 & -1\\[4pt] 2 & -3 & 4 & 2 \end{array} \right]]

Passo 3

Eliminação na primeira coluna: cálculo dos multiplicadores e atualização das linhas 2 e 3 (com truncamento em cada operação).
  • Fórmula do multiplicador para eliminar o elemento a_{i1} usando pivô a_{11} é
m_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}}.
Truncamos o resultado de cada divisão para duas casas decimais.
  • Calculamos m_{21} e m_{31}:
\displaystyle m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{3}=0{,}333\ldots truncando para duas casas: \;m_{21}=0{,}33.
\displaystyle m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{2}{3}=0{,}666\ldots truncando para duas casas: \;m_{31}=0{,}66.
  • Atualizamos linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - m_{21} R_1. Faço cada produto e cada subtração truncando a cada passo.
    • m_{21}\cdot a_{11}=0{,}33\cdot 3=0{,}99 (truncado já dá 0{,}99).
    • Novo a_{21}=1 - 0{,}99 = 0{,}01 (truncado 0{,}01).
    • m_{21}\cdot a_{12}=0{,}33\cdot 5=1{,}65 (truncado 1{,}65).
    • Novo a_{22}=-2 - 1{,}65 = -3{,}65 (truncado -3{,}65).
    • m_{21}\cdot a_{13}=0{,}33\cdot (-1)=-0{,}33 (truncado -0{,}33).
    • Novo a_{23}=-2 - (-0{,}33) = -2 + 0{,}33 = -1{,}67 (truncado -1{,}67).
    • m_{21}\cdot b_{1}=0{,}33\cdot 3=0{,}99.
    • Novo b_2 = -1 - 0{,}99 = -1{,}99 (truncado -1{,}99).
    Assim a linha 2 fica:
    R_2 = \bigl[\,0{,}01,\; -3{,}65,\; -1{,}67\;|\;-1{,}99\,\bigr].
  • Atualizamos linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - m_{31} R_1.
    • m_{31}\cdot a_{11}=0{,}66\cdot 3=1{,}98 (truncado 1{,}98).
    • Novo a_{31}=2 - 1{,}98 = 0{,}02 (truncado 0{,}02).
    • m_{31}\cdot a_{12}=0{,}66\cdot 5=3{,}30 (truncado 3{,}30).
    • Novo a_{32}=-3 - 3{,}30 = -6{,}30 (truncado -6{,}30).
    • m_{31}\cdot a_{13}=0{,}66\cdot (-1)=-0{,}66 (truncado -0{,}66).
    • Novo a_{33}=4 - (-0{,}66) = 4 + 0{,}66 = 4{,}66 (truncado 4{,}66).
    • m_{31}\cdot b_{1}=0{,}66\cdot 3=1{,}98.
    • Novo b_3 = 2 - 1{,}98 = 0{,}02 (truncado 0{,}02).
    Assim a linha 3 fica:
    R_3 = \bigl[\,0{,}02,\; -6{,}30,\; 4{,}66\;|\;0{,}02\,\bigr].
  • Depois das operações temos a matriz aumentada:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -1 & 3\\[4pt] 0{,}01 & -3{,}65 & -1{,}67 & -1{,}99\\[4pt] 0{,}02 & -6{,}30 & 4{,}66 & 0{,}02 \end{array} \right]]

Passo 4

Pivotamento parcial na segunda coluna (entre as linhas 2 e 3) e troca de linhas se necessário.
  • Olhamos a coluna 2 nas linhas 2 e 3 (após eliminação): temos |-3{,}65|=3{,}65 e |-6{,}30|=6{,}30. O maior em módulo é -6{,}30 (linha 3). Então trocamos a linha 2 com a linha 3.
  • Após a troca:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -1 & 3\\[4pt] 0{,}02 & -6{,}30 & 4{,}66 & 0{,}02\\[4pt] 0{,}01 & -3{,}65 & -1{,}67 & -1{,}99 \end{array} \right]]

Passo 5

Eliminação na segunda coluna: cálculo do multiplicador m_{32} e atualização da linha 3 (com truncamento em cada operação).
  • Multiplicador:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-3{,}65}{-6{,}30}=0{,}579365\ldots
Truncando para duas casas: \;m_{32}=0{,}57.
  • Atualizamos R_3 \leftarrow R_3 - m_{32} R_2, fazendo cada produto e cada subtração com truncamento.
    • Para a coluna 1:
      • m_{32}\cdot a_{21}=0{,}57\cdot 0{,}02=0{,}0114 truncado para duas casas: 0{,}01.
      • Novo a_{31}=0{,}01 - 0{,}01 = 0{,}00 (truncado 0{,}00).
    • Para a coluna 2:
      • m_{32}\cdot a_{22}=0{,}57\cdot (-6{,}30)=-3{,}591 truncado para duas casas: -3{,}59.
      • Novo a_{32}=-3{,}65 - (-3{,}59) = -3{,}65 + 3{,}59 = -0{,}06 (truncado -0{,}06).
    • Para a coluna 3:
      • m_{32}\cdot a_{23}=0{,}57\cdot 4{,}66=2{,}6562 truncado para duas casas: 2{,}65.
      • Novo a_{33}=-1{,}67 - 2{,}65 = -4{,}32 (truncado -4{,}32).
    • Para o termo independente:
      • m_{32}\cdot b_{2}=0{,}57\cdot 0{,}02=0{,}0114 truncado para duas casas: 0{,}01.
      • Novo b_3=-1{,}99 - 0{,}01 = -2{,}00 (truncado -2{,}00).
  • Após essa eliminação a matriz aumentada final (após a fase de eliminação para obter a forma triangular) é:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -1 & 3\\[4pt] 0{,}02 & -6{,}30 & 4{,}66 & 0{,}02\\[4pt] 0{,}00 & -0{,}06 & -4{,}32 & -2{,}00 \end{array} \right]
Observação: por causa do truncamento pode haver pequenos resíduos onde idealmente teríamos zeros exatos; isso é esperado quando truncamos/arredundamos durante os cálculos.]

Passo 6

Back-substitution (substituição regressiva) para obter x_3,x_2,x_1, aplicando truncamento em cada operação.
  • A ideia do back-substitution: para uma matriz triangular superior com linhas i=n,n-1,\dots,1 usamos
x_i=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j\right).
Aqui aplicaremos essa fórmula e truncaremos o resultado de cada multiplicação, soma, subtração e divisão.
  • Linha 3 (i=3): coeficiente a_{33}=-4{,}32, termo independente b_3=-2{,}00. Não há termos com j>3, então
x_3 = \frac{b_3}{a_{33}}=\frac{-2{,}00}{-4{,}32}=0{,}462962\ldots
Truncando para duas casas: \;x_3=0{,}46.
  • Linha 2 (i=2): coeficientes a_{22}=-6{,}30, a_{23}=4{,}66, termo b_2=0{,}02. Usamos
x_2=\frac{b_2 - a_{23}x_3}{a_{22}}.
Fazendo passo a passo com truncamento:
  • Produto a_{23} x_3 = 4{,}66 \cdot 0{,}46 = 2{,}1436 truncado para duas casas: 2{,}14.
  • Numerador b_2 - (a_{23}x_3) = 0{,}02 - 2{,}14 = -2{,}12 (truncado -2{,}12).
  • Divisão x_2 = \dfrac{-2{,}12}{-6{,}30} = 0{,}336507\ldots truncada para duas casas: \;x_2=0{,}33.
  • Linha 1 (i=1): coeficientes a_{11}=3, a_{12}=5, a_{13}=-1, termo b_1=3. Fórmula:
x_1=\frac{b_1 - a_{12}x_2 - a_{13}x_3}{a_{11}}.
Passos com truncamento:
  • Produto a_{12}x_2 = 5 \cdot 0{,}33 = 1{,}65 (truncado 1{,}65).
  • Produto a_{13}x_3 = (-1)\cdot 0{,}46 = -0{,}46 (truncado -0{,}46).
  • Numerador b_1 - a_{12}x_2 - a_{13}x_3 = 3 - 1{,}65 - (-0{,}46) = 3 - 1{,}65 + 0{,}46 = 1{,}81 (truncado 1{,}81).
  • Divisão x_1 = \dfrac{1{,}81}{3} = 0{,}603333\ldots truncada para duas casas: \;x_1=0{,}60.
  • Portanto, os valores finais (truncados a cada operação, e com duas casas decimais) são:
x_1 = 0{,}60,\quad x_2 = 0{,}33,\quad x_3 = 0{,}46.

Resposta

\;x_{1}=0{,}60
\;x_{2}=0{,}33
\;x_{3}=0{,}46

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