Considere o sistema linear da questão anterior. Dada a aproximação inicial x^{(0)}=(1,-2,1)^{T}, use o método de Gauss-Seidel, para encontrar as aproximações sucessivas x^{(1)} e x^{(2)}.
Passo 1
O enunciado pede: dado o sistema linear da questão anterior e a aproximação inicial x^{(0)}=(1,-2,1)^{T}, usar o método de Gauss–Seidel para encontrar as aproximações sucessivas x^{(1)} e x^{(2)}.
Informações fornecidas explicitamente:
x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Informações que deveriam estar no enunciado, mas não foram fornecidas: a matriz de coeficientes A e o vetor termo independente b do sistema linear (isto é, as equações explícitas do sistema). Sem conhecer A e b não é possível calcular numericamente x^{(1)} e x^{(2)}.
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel (explicado passo a passo, sem pular etapas)
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Situação geral: queremos resolver um sistema linear
Ax=b,
onde [A) é uma matriz 3\times3, x=(x_1,x_2,x_3)^T é o vetor incógnita e b=(b_1,b_2,b_3)^T é o vetor dos termos independentes.
Escrevendo as três equações explicitamente, com os coeficientes a_{ij}:
Ideia do Gauss–Seidel: a cada iteração resolvemos cada equação para a variável correspondente usando já as componentes mais recentes disponíveis. Assim, a fórmula de atualização do passo ((k)\to(k+1)] é x_1^{(k+1)}=\frac{1}{a_{11}}\bigl(b_1 - a_{12}x_2^{(k)} - a_{13}x_3^{(k)}\bigr),
Explicação amigável: para calcular x_1^{(k+1)} usamos apenas valores da iteração anterior x^{(k)}. Para x_2^{(k+1)} já usamos o x_1^{(k+1)} recém-calculado (por isso o método é sequencial). Para x_3^{(k+1)} usamos os dois valores novos x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}. Esse uso das componentes mais recentes costuma acelerar a convergência comparado ao método de Jacobi.
Como aplicar em prova (passo a passo prático):
Escreva as três fórmulas acima explicitamente substituindo a_{ij} e b_i.
Comece com x^{(0)} dado. Calcule x_1^{(1)} pela primeira fórmula.
Use esse x_1^{(1)} no cálculo de x_2^{(1)}.
Use x_1^{(1)} e x_2^{(1)} no cálculo de x_3^{(1)}.
Isso completa x^{(1)}. Repita o processo usando x^{(1)} para obter x^{(2)}.
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Observação importante para a prova: verifique se a_{11},a_{22},a_{33}\neq0 (necessário para isolar x_i) e, se possível, se A é estritamente diagonalmente dominante (condição que tende a garantir convergência). Mas mesmo sem essa verificação, na prova você normalmente segue as fórmulas acima.]
Passo 3
O que eu posso fazer com a informação que você deu (limitações)
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Como o enunciado não trouxe A nem b, não há como calcular numericamente as componentes de x^{(1)} e x^{(2)} requeridas: cada atualização precisa de combinações dos coeficientes a_{ij} e dos termos b_i.
Portanto, para obter os valores numéricos certos eu preciso que você me envie as equações do sistema (ou a matriz A e o vetor b). Não inventarei um sistema porque a resposta correta depende exatamente dos coeficientes que o professor deu.
Passo 4
Exemplo ilustrativo (para você aprender fazendo — uso um sistema numérico como exemplo, mantendo o mesmo x^{(0)}\) que você deu)
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Vou mostrar passo a passo em um sistema concreto para que você veja como executar os cálculos na prova. Considere (apenas como exemplo didático) o sistema
\[\begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 7,\\[4pt] - x_1 + 3x_2 - 2x_3 = -8,\\[4pt] 2x_1 + x_2 + 5x_3 = 6. \end{cases}
Esses cálculos servem apenas para mostrar a mecânica: na prova você faria exatamente as mesmas operações, mas substituindo os a_{ij} e b_i do sistema que o professor deu.]
Passo 5
O que eu preciso que você me envie para resolver o seu exercício exatamente
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Envie a matriz de coeficientes A e o vetor b, ou as três equações do sistema. Assim eu aplico as fórmulas do Gauss–Seidel que expliquei e calculo explicitamente x^{(1)} e x^{(2)} com todos os detalhes, passo a passo, usando a sua mesma x^{(0)}=(1,-2,1)^T.
Resposta
Não é possível determinar x^{(1)} e x^{(2)} porque o sistema linear (a matriz A e o vetor b) não foi fornecido.