Considere o sistema linear da questão anterior. Dada a aproximação inicial x^{(0)}=(1,-2,1)^{T}, use o método de Gauss-Seidel, para encontrar as aproximações sucessivas x^{(1)} e x^{(2)}.

Passo 1

O enunciado pede: dado o sistema linear da questão anterior e a aproximação inicial x^{(0)}=(1,-2,1)^{T}, usar o método de Gauss–Seidel para encontrar as aproximações sucessivas x^{(1)} e x^{(2)}.
Informações fornecidas explicitamente:
x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Informações que deveriam estar no enunciado, mas não foram fornecidas: a matriz de coeficientes A e o vetor termo independente b do sistema linear (isto é, as equações explícitas do sistema). Sem conhecer A e b não é possível calcular numericamente x^{(1)} e x^{(2)}.

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel (explicado passo a passo, sem pular etapas)
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  1. Situação geral: queremos resolver um sistema linear
Ax=b,
onde [A) é uma matriz 3\times3, x=(x_1,x_2,x_3)^T é o vetor incógnita e b=(b_1,b_2,b_3)^T é o vetor dos termos independentes.
  1. Escrevendo as três equações explicitamente, com os coeficientes a_{ij}:
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1,\\[4pt] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2,\\[4pt] a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3. \end{cases}
  1. Ideia do Gauss–Seidel: a cada iteração resolvemos cada equação para a variável correspondente usando já as componentes mais recentes disponíveis. Assim, a fórmula de atualização do passo ((k)\to(k+1)] é
    x_1^{(k+1)}=\frac{1}{a_{11}}\bigl(b_1 - a_{12}x_2^{(k)} - a_{13}x_3^{(k)}\bigr),
x_2^{(k+1)}=\frac{1}{a_{22}}\bigl(b_2 - a_{21}x_1^{(k+1)} - a_{23}x_3^{(k)}\bigr),
x_3^{(k+1)}=\frac{1}{a_{33}}\bigl(b_3 - a_{31}x_1^{(k+1)} - a_{32}x_2^{(k+1)}\bigr).
Explicação amigável: para calcular x_1^{(k+1)} usamos apenas valores da iteração anterior x^{(k)}. Para x_2^{(k+1)} já usamos o x_1^{(k+1)} recém-calculado (por isso o método é sequencial). Para x_3^{(k+1)} usamos os dois valores novos x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}. Esse uso das componentes mais recentes costuma acelerar a convergência comparado ao método de Jacobi.
  1. Como aplicar em prova (passo a passo prático):
  • Escreva as três fórmulas acima explicitamente substituindo a_{ij} e b_i.
  • Comece com x^{(0)} dado. Calcule x_1^{(1)} pela primeira fórmula.
  • Use esse x_1^{(1)} no cálculo de x_2^{(1)}.
  • Use x_1^{(1)} e x_2^{(1)} no cálculo de x_3^{(1)}.
  • Isso completa x^{(1)}. Repita o processo usando x^{(1)} para obter x^{(2)}.
    \n
    Observação importante para a prova: verifique se a_{11},a_{22},a_{33}\neq0 (necessário para isolar x_i) e, se possível, se A é estritamente diagonalmente dominante (condição que tende a garantir convergência). Mas mesmo sem essa verificação, na prova você normalmente segue as fórmulas acima.]

Passo 3

O que eu posso fazer com a informação que você deu (limitações)
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  • Como o enunciado não trouxe A nem b, não há como calcular numericamente as componentes de x^{(1)} e x^{(2)} requeridas: cada atualização precisa de combinações dos coeficientes a_{ij} e dos termos b_i.
  • Portanto, para obter os valores numéricos certos eu preciso que você me envie as equações do sistema (ou a matriz A e o vetor b). Não inventarei um sistema porque a resposta correta depende exatamente dos coeficientes que o professor deu.

Passo 4

Exemplo ilustrativo (para você aprender fazendo — uso um sistema numérico como exemplo, mantendo o mesmo x^{(0)}\) que você deu) \n Vou mostrar passo a passo em um sistema concreto para que você veja como executar os cálculos na prova. Considere (apenas como exemplo didático) o sistema \[\begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 7,\\[4pt] - x_1 + 3x_2 - 2x_3 = -8,\\[4pt] 2x_1 + x_2 + 5x_3 = 6. \end{cases}
Começando com (x{(0)}=(1,-2,1)T]:
Cálculo de x^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{1}{4}\bigl(7 - (-1)\cdot(-2) - 1\cdot 1\bigr)=\frac{1}{4}(7-2-1)=\frac{4}{4}=1.
x_2^{(1)}=\frac{1}{3}\bigl(-8 -(-1)\cdot x_1^{(1)} - (-2)\cdot 1\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(-8 +1 +2\bigr)=\frac{-5}{3}.
x_3^{(1)}=\frac{1}{5}\bigl(6 -2\cdot x_1^{(1)} -1\cdot x_2^{(1)}\bigr)=\frac{1}{5}\bigl(6-2 -(-5/3)\bigr)=\frac{17}{15}.
Portanto (no exemplo),
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\\ -5/3\\\\ 17/15\end{pmatrix}.
Cálculo de x^{(2)} (usando x^{(1)}):
x_1^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(7 -(-1)\cdot(-5/3) -1\cdot(17/15)\bigr) =\frac{21}{20}=1{,}05.
x_2^{(2)}=\frac{1}{3}\bigl(-8 -(-1)\cdot(21/20) -(-2)\cdot(17/15)\bigr) =-\frac{281}{180}\approx -1{,}56111.
x_3^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(6 -2\cdot(21/20) -1\cdot(-281/180)\bigr) =\frac{983}{900}\approx 1{,}09222.
Então (no exemplo),
x^{(2)}=\begin{pmatrix}21/20\\\\ -281/180\\\\ 983/900\end{pmatrix}.
Esses cálculos servem apenas para mostrar a mecânica: na prova você faria exatamente as mesmas operações, mas substituindo os a_{ij} e b_i do sistema que o professor deu.]

Passo 5

O que eu preciso que você me envie para resolver o seu exercício exatamente
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Envie a matriz de coeficientes A e o vetor b, ou as três equações do sistema. Assim eu aplico as fórmulas do Gauss–Seidel que expliquei e calculo explicitamente x^{(1)} e x^{(2)} com todos os detalhes, passo a passo, usando a sua mesma x^{(0)}=(1,-2,1)^T.

Resposta

Não é possível determinar x^{(1)} e x^{(2)} porque o sistema linear (a matriz A e o vetor b) não foi fornecido.

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