Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z=d_{3}\end{array}\right.
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço x y z. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
P_{1} e P_{2} se interceptam em uma reta L que é paralela a P_{3}.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas que representam três planos P_{1}, P_{2} e P_{3} no espaço. Sabemos que
P_{1}\cap P_{2}=L
é uma reta L e que essa reta é paralela ao plano P_{3}. Precisamos encontrar o conjunto-solução
P_{1}\cap P_{2}\cap P_{3}.

Passo 2

Como já temos
P_{1}\cap P_{2}=L,
qualquer ponto que seja solução do sistema deve necessariamente pertencer à reta L.

Passo 3

Mas L é paralela a P_{3}. Por definição, uma reta paralela a um plano não o intercepta, ou seja,
L\cap P_{3}=\varnothing.
Não existe ponto algum que pertença simultaneamente a L e a P_{3}.

Passo 4

Portanto não há nenhum ponto que satisfaça as três equações ao mesmo tempo. O sistema é incompatível.

Resposta

O conjunto-solução é \emptyset.

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