Estenda os dois vetores ortogonais \left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] a uma base ortogonal de \mathbb{R}^{4} (com respeito ao produto escalar).

Passo 1

O enunciado pede para estender os vetores
v_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^{4} (que já são ortogonais pelo produto escalar usual) a uma base ortogonal de dimensão 4. Para isso, vamos encontrar duas direções lineares independentes que sejam ortogonais a v_{1} e v_{2}.

Passo 2

Um vetor genérico x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) será ortogonal a v_{1} e v_{2} se satisfizer o sistema
\begin{cases} x\cdot v_{1}=x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0,\\\ x\cdot v_{2}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}

Passo 3

Somando as duas equações obtemos
2(x_{1}+x_{3})=0\implies x_{1}=-x_{3},
e subtraindo obtemos
-2(x_{2}+x_{4})=0\implies x_{2}=-x_{4}.
Logo a solução geral é
x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(-a,\,-b,\,a,\,b) =a\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
onde a,b\in\mathbb{R}.

Passo 4

Tomamos então
u_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad u_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Verificamos que
u_{3}\cdot v_{1}=(-1)\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot1+0\cdot(-1)=0,
u_{3}\cdot v_{2}=(-1)\cdot1+0\cdot1+1\cdot1+0\cdot1=0,
e o mesmo vale para u_{4}. Além disso
u_{3}\cdot u_{4} =(-1)\cdot0+0\cdot(-1)+1\cdot0+0\cdot1=0,
logo os quatro vetores são mutuamente ortogonais.

Resposta

Uma base ortogonal de \mathbb{R}^{4} que estende v_{1},v_{2} é
\left\{ \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \right\}.

Exercícios relacionados