Questão 3) Pedro possui uma mesada de \ 60 . Ele gasta sua mesada fazendo ligações de seu celular (bemçõx , medidos em minutos) a um preçoçp_{x} e com vários outros bens, denominados aqui de bemáy , a um preço deçp_{y}= $1 . A companhia telefônica de Pedro oferece dois planos: o plano A , onde ele não paga uma taxa de manutenção e faz ligações a um preço deôãçãçõç$ 0,50 por minuto; ou o planoB , onde ele paga uma taxa de manutenção deçã$20 , mas faz ligações a um preço deçõç$ 0,20$ por minuto.
a) Desenhe a restrição orçamentária de Pedro para os dois casos, com o bem x no eixo das abcissas e o bem y no eixo das ordenadas (Valor: 0,5).
b) Se Pedro escolher o plano A, qual será o conjunto de cestas que ele irá comprar se o seu comportamento for consistente com o axioma fraco da preferência revelada (Valor: 1,5 )

Passo 1

Pedro dispõe de \$60 para gastar em minutos de ligação x (preço p_x) e num bem y (preço p_y=1). Há dois planos:
• Plano A: sem taxa fixa, preço por minuto \$0,50.
• Plano B: taxa fixa \$20 + preço por minuto \$0,20.
(a) Queremos desenhar as restrições orçamentárias no plano (x,y).
(b) Se ele escolher o plano A, quais cestas podem ser escolhidas sem violar o axioma fraco da preferência revelada (WARP)?

Passo 2

Restrição orçamentária do plano A
0,5\,x + y = 60.
Interceptos:
x=0 y=60.
y=0 x=120.
Reta ligando (0,60) e (120,0).

Passo 3

Restrição orçamentária do plano B
0,2\,x + y = 40
(efeito da taxa fixa de \$20, sobra \$40).
Interceptos:
x=0 y=40.
y=0 x=200.
Reta ligando (0,40) e (200,0).

Passo 4

Ponto de interseção das duas retas:
\begin{cases} 0,5\,x + y = 60,\\\\ 0,2\,x + y = 40. \end{cases}
Subtraindo:
0,3\,x = 20 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{200}{3}\approx66{,}67,
e
y = 60 - 0,5\cdot\tfrac{200}{3} = \tfrac{80}{3}\approx26{,}67.
Interseção em \bigl(\tfrac{200}{3},\,\tfrac{80}{3}\bigr).

Passo 5

Para não violar WARP, uma cesta (x,y) na reta de A não pode ser estritamente dominada por nenhuma cesta em B. Isso dá a condição
60 - 0,5\,x \;\ge\; 40 - 0,2\,x \quad\Longrightarrow\quad x \le \tfrac{200}{3}.
Logo, a porção viável da reta de A é
0 \le x \le \tfrac{200}{3}, \quad y = 60 - 0,5\,x.

Resposta

(a)
Plano A: reta \;0,5\,x + y = 60 ligando (0,60) e (120,0).
Plano B: reta \;0,2\,x + y = 40 ligando (0,40) e (200,0).
(b)
O conjunto de cestas em A compatível com WARP é
\Bigl\{(x,y)\;\Bigm|\;0 \le x \le \tfrac{200}{3},\;y = 60 - 0,5\,x\Bigr\}.

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