Questão 2) Considere duas funções de utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right) e v\left(x_{1}, x_{2}\right). Prove que se u\left(x_{1}, x_{2}\right) e v\left(x_{1}, x_{2}\right) são homogêneas de grau r, então, a simples soma das duas funções também será homogênea de grau r (Valor: 1,0 ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções de utilidade u(x_{1},x_{2}) e v(x_{1},x_{2}) homogêneas de grau r, a soma
s(x_{1},x_{2}) = u(x_{1},x_{2}) + v(x_{1},x_{2})
também é homogênea de grau r. O conteúdo principal aqui é a definição de função homogênea: uma função f é homogênea de grau r se, para todo t>0 e todo (x_{1},x_{2}), vale
f(t x_{1},t x_{2}) = t^{r}\,f(x_{1},x_{2}).

Passo 2

Definimos s(x_{1},x_{2}) = u(x_{1},x_{2}) + v(x_{1},x_{2}). Como u e v são homogêneas de grau r, temos para todo t>0:
u(t x_{1},t x_{2}) = t^{r}\,u(x_{1},x_{2}) \quad\text{e}\quad v(t x_{1},t x_{2}) = t^{r}\,v(x_{1},x_{2}).
Somando essas duas igualdades, obtemos
s(t x_{1},t x_{2}) = u(t x_{1},t x_{2}) + v(t x_{1},t x_{2}) = t^{r}\,u(x_{1},x_{2}) + t^{r}\,v(x_{1},x_{2}) = t^{r}\bigl(u(x_{1},x_{2}) + v(x_{1},x_{2})\bigr).

Passo 3

Como mostramos que
s(t x_{1},t x_{2}) = t^{r}\,s(x_{1},x_{2})
para todo t>0 e todo (x_{1},x_{2}), concluímos que s é homogênea de grau r.

Resposta

A soma u(x_{1},x_{2}) + v(x_{1},x_{2}) é homogênea de grau r.

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