Q15: Seja p(x)=13+35 x-7 x^{2} e
\beta=\left\{-1-2 x+2 x^{2}, \quad 3+8 x-2 x^{2}, \quad-1-x+5 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) -3
(C) 2
(D) 3
(E) -1
(F) 1
(G) 4
(H) -4

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • O polinômio dado é p(x)=13+35x-7x^{2}.
  • A base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2 é \beta=\left\{\,v_{1}=-1-2x+2x^{2},\quad v_{2}=3+8x-2x^{2},\quad v_{3}=-1-x+5x^{2}\,\right\}.
  • Denotando por [p]_{\beta}=(a,b,c) as coordenadas de p na base \beta, isso significa que p(x)=a\,v_{1}(x)+b\,v_{2}(x)+c\,v_{3}(x).
O enunciado pede especificamente o valor de c.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo e didático): como v_1,v_2,v_3 formam uma base, qualquer polinômio de grau \le 2 pode ser escrito como combinação linear deles. Se escrevemos essa combinação e agrupamos os coeficientes das potências 1 (constante), x e x^2, obtemos um sistema de três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Igualando coeficientes é válido porque dois polinômios são iguais se, e só se, possuem os mesmos coeficientes em cada potência.

Passo 3

Escrevendo a igualdade p(x)=a v_1(x)+b v_2(x)+c v_3(x) e agrupando os termos por potências:
13+35x-7x^{2}=a(-1-2x+2x^{2})+b(3+8x-2x^{2})+c(-1-x+5x^{2}).
Agora equacione os coeficientes de 1, x e x^{2} separadamente. Isso gera o sistema
\begin{cases} - a + 3b - c = 13 & (\text{coeficiente de }1),\\[4pt] -2a + 8b - c = 35 & (\text{coeficiente de }x),\\[4pt] 2a -2b +5c = -7 & (\text{coeficiente de }x^{2}). \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema por eliminação de forma clara.
Primeiro, subtraio a primeira equação da segunda (para eliminar c, já que ambas têm -c):
(-2a+8b-c)-(-a+3b-c)=35-13 \quad\Longrightarrow\quad -a+5b=22.
Isolando a:
a=5b-22.
Em seguida uso a primeira equação para expressar c em função de b. A primeira equação é -a+3b-c=13. Substituindo a=5b-22:
-(5b-22)+3b-c=13 \quad\Longrightarrow\quad -5b+22+3b-c=13.
Simplificando:
-2b+22-c=13 \quad\Longrightarrow\quad -c-2b=-9 \quad\Longrightarrow\quad c+2b=9.
Assim
c=9-2b.

Passo 5

Agora substituímos a e c na terceira equação 2a-2b+5c=-7. Usando a=5b-22 e c=9-2b:
2(5b-22)-2b+5(9-2b)=-7.
Calcule passo a passo:
10b-44-2b+45-10b=-7.
Agrupando os termos em b e os constantes:
(10b-2b-10b)+(-44+45)=-7 \quad\Longrightarrow\quad -2b+1=-7.
Isolando b:
-2b=-8 \quad\Longrightarrow\quad b=4.

Passo 6

Com b=4 encontramos c pela relação c=9-2b:
c=9-2\cdot4=9-8=1.
Também, se quiser, a=5b-22=5\cdot4-22=20-22=-2 (só para conferir consistência).

Passo 7

Interpretação final: o valor de c nas coordenadas [p]_{\beta}=(a,b,c) é 1. Isso corresponde à alternativa (F).

Resposta

1

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