Q15: Seja p(x)=13+35 x-7 x^{2} e \beta=\left\{-1-2 x+2 x^{2}, \quad 3+8 x-2 x^{2}, \quad-1-x+5 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) -3
(C) 2
(D) 3
(E) -1
(F) 1
(G) 4
(H) -4
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
O polinômio dado é p(x)=13+35x-7x^{2}.
A base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2 é\beta=\left\{\,v_{1}=-1-2x+2x^{2},\quad v_{2}=3+8x-2x^{2},\quad v_{3}=-1-x+5x^{2}\,\right\}.
Denotando por [p]_{\beta}=(a,b,c) as coordenadas de p na base \beta, isso significa quep(x)=a\,v_{1}(x)+b\,v_{2}(x)+c\,v_{3}(x).
O enunciado pede especificamente o valor de c.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo e didático): como v_1,v_2,v_3 formam uma base, qualquer polinômio de grau \le 2 pode ser escrito como combinação linear deles. Se escrevemos essa combinação e agrupamos os coeficientes das potências 1 (constante), x e x^2, obtemos um sistema de três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Igualando coeficientes é válido porque dois polinômios são iguais se, e só se, possuem os mesmos coeficientes em cada potência.
Passo 3
Escrevendo a igualdade p(x)=a v_1(x)+b v_2(x)+c v_3(x) e agrupando os termos por potências: