Q3: Sabendo que o ponto
pertence ao plano
, assinale o valor de
:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- Um ponto que define o plano:
. - Dois vetores que geram o plano (span):
e . - O plano é o conjunto
, ou seja, todos os pontos da forma para escalares . - O enunciado afirma que o ponto
pertence a esse plano e pede para determinar o valor de .
Resumo do que se pede: encontrar
tal que existam escalares
e
com
Passo 2
Traduzir a condição de pertencimento em uma equação vetorial e, em seguida, em equações por componentes.
A equação vetorial é
Agora escrevemos isso componente a componente (cada coordenada gera uma equação escalar).
Passo 3
Escrevendo as quatro equações de coordenadas:
- Primeira coordenada:
- Segunda coordenada:
- Terceira coordenada:
- Quarta coordenada (envolve
):
Observação didática: cada linha corresponde a somar a coordenada do ponto
com
vezes a coordenada de
e
vezes a coordenada de
. Isso é exatamente a definição de combinação linear componente a componente.
Passo 4
Resolver o sistema das primeiras duas equações para obter
e
.
Da equação (1):
Substituindo em (2):
Desenvolvendo passo a passo:
Agora volta em
:
Didática extra: escolhemos as duas primeiras equações porque elas envolvem apenas
e
sem
; resolver esse par permite depois obter
diretamente pela quarta equação.
Passo 5
Verificar consistência usando a terceira equação (boa prática para evitar erro de escrita do plano).
A terceira equação era
Substituindo
e
:
que é verdade. Então o sistema é consistente e os valores encontrados de
estão corretos.
Passo 6
Calcular
usando a quarta equação:
Substituindo
e
:
Interpretação: para que
pertença ao plano, a coordenada
deve ser
.
Resposta
(G)