Q3: Sabendo que o ponto (5,0,-5, k) pertence ao plano (1,-2,-3,-1)+\operatorname{span}\{(1,2,-2,-1),(3,3,-3,-2)\}, assinale o valor de k :
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Um ponto que define o plano: P_0=(1,-2,-3,-1).
  • Dois vetores que geram o plano (span): \mathbf{v}_1=(1,2,-2,-1) e \mathbf{v}_2=(3,3,-3,-2).
  • O plano é o conjunto \;P_0+\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}\;, ou seja, todos os pontos da forma P_0+s\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2 para escalares s,t\in\mathbb{R}.
  • O enunciado afirma que o ponto Q=(5,0,-5,k) pertence a esse plano e pede para determinar o valor de k.
Resumo do que se pede: encontrar k tal que existam escalares s e t com
P_0+s\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2=Q.

Passo 2

Traduzir a condição de pertencimento em uma equação vetorial e, em seguida, em equações por componentes.
A equação vetorial é
(1,-2,-3,-1)+s(1,2,-2,-1)+t(3,3,-3,-2)=(5,0,-5,k).
Agora escrevemos isso componente a componente (cada coordenada gera uma equação escalar).

Passo 3

Escrevendo as quatro equações de coordenadas:
  1. Primeira coordenada:
1 + s + 3t = 5.
  1. Segunda coordenada:
-2 + 2s + 3t = 0.
  1. Terceira coordenada:
-3 - 2s - 3t = -5.
  1. Quarta coordenada (envolve k):
-1 - s - 2t = k.
Observação didática: cada linha corresponde a somar a coordenada do ponto P_0 com s vezes a coordenada de \mathbf{v}_1 e t vezes a coordenada de \mathbf{v}_2. Isso é exatamente a definição de combinação linear componente a componente.

Passo 4

Resolver o sistema das primeiras duas equações para obter s e t.
Da equação (1):
s + 3t = 4 \quad\Rightarrow\quad s = 4 - 3t.
Substituindo em (2):
-2 + 2(4-3t) + 3t = 0.
Desenvolvendo passo a passo:
-2 + 8 -6t + 3t = 0,
6 -3t = 0,
-3t = -6,
t = 2.
Agora volta em s = 4 - 3t:
s = 4 - 3\cdot 2 = 4 - 6 = -2.
Didática extra: escolhemos as duas primeiras equações porque elas envolvem apenas s e t sem k; resolver esse par permite depois obter k diretamente pela quarta equação.

Passo 5

Verificar consistência usando a terceira equação (boa prática para evitar erro de escrita do plano).
A terceira equação era
-3 - 2s - 3t = -5.
Substituindo s=-2 e t=2:
-3 - 2(-2) - 3(2) = -3 +4 -6 = -5,
que é verdade. Então o sistema é consistente e os valores encontrados de s,t estão corretos.

Passo 6

Calcular k usando a quarta equação:
k = -1 - s - 2t.
Substituindo s=-2 e t=2:
k = -1 - (-2) - 2\cdot 2 = -1 +2 -4 = -3.
Interpretação: para que Q pertença ao plano, a coordenada k deve ser -3.

Resposta

(G) -3

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