Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & -2 & -2 \\\\ -1 & 4 & 4 & 4 \\\\ -2 & 2 & -2 & 4 \\\\ -2 & 8 & 12 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada do sistema linear com três incógnitas (digamos x,y,z) e quatro equações:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ -1 & 4 & 4 & 4 \\\\ -2 & 2 & -2 & 4 \\\\ -2 & 8 & 12 & k \end{array}\right]
A pergunta é: assinale o valor de k (entre as opções (A)–(H)) tal que o sistema tenha solução.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • 4 equações e 3 incógnitas (sistema sobredeterminado).
  • O parâmetro k aparece apenas no termo independente da quarta equação.
  • As opções de k são 4,5,6,7,8,9,10,11.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): usar eliminação de Gauss (operações elementares de linha) para reduzir a matriz aumentada e verificar a condição de consistência.
Por que esse método? Porque elimina incógnitas passo a passo e, no final, quaisquer linhas do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] aparecem claramente; se c\neq 0 a equação é 0=c e o sistema é inconsistente. Operações elementares de linha não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Lembrete rápido sobre operações elementares de linha:
  • Somar uma linha a outra, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e trocar linhas são permitidas.
  • O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs para triangular a matriz.

Passo 3

Começamos com a matriz dada. Nomeando as linhas como R_1,R_2,R_3,R_4, aplico operações que zeram a primeira coluna nas linhas R_2,R_3,R_4 usando R_1.
Matriz inicial:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ -1 & 4 & 4 & 4 \\\\ -2 & 2 & -2 & 4 \\\\ -2 & 8 & 12 & k \end{array}\right]
Faço as operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1
Calculando cada nova linha:
  • R_2 = (-1+1,\;4+(-2),\;4+(-2)\mid 4+(-2)) = (0,\;2,\;2\mid 2).
  • R_3 = (-2+2,\;2+(-4),\;-2+(-4)\mid 4+(-4)) = (0,\;-2,\;-6\mid 0).
  • R_4 = (-2+2,\;8+(-4),\;12+(-4)\mid k+(-4)) = (0,\;4,\;8\mid k-4).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ 0 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & -2 & -6 & 0 \\\\ 0 & 4 & 8 & k-4 \end{array}\right]

Passo 4

Agora trabalho na submatriz correspondente às colunas 2 e 3 (usando R_2 como pivô na coluna 2). Faço operações para zerar a coluna 2 em R_3 e R_4.
Operações:
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_2 (porque R_3 tem -2 e R_2 tem 2)
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2 (porque R_4 tem 4 e 2\cdot R_2 tem 4)
Calculemos:
  • R_3 = (0,\;-2+2,\;-6+2\mid 0+2) = (0,\;0,\;-4\mid 2).
  • R_4 = (0,\;4-4,\;8-4\mid k-4-4) = (0,\;0,\;4\mid k-8).
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ 0 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 & k-8 \end{array}\right]

Passo 5

Continuo para zerar a coluna 3 na última linha usando R_3 (pivô em coluna 3 é -4 em R_3). Faço:
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_3
Calculando:
  • R_4 = (0,\;0,\;4+(-4)\mid k-8+2) = (0,\;0,\;0\mid k-6).
A matriz reduzida é:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ 0 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & k-6 \end{array}\right]

Passo 6

Interpretação final e condição de existência de solução: a última linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = k-6,
ou seja, a equação 0 = k-6\). Para que haja solução isso tem de ser verdadeiro, portanto é necessário e suficiente que \[k-6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 6.
Se k\neq 6 a última linha seria 0 = número não nulo, contraditória, logo o sistema seria inconsistente (sem solução). Se k=6 a última linha vira 0=0 e o sistema tem solução (na verdade muitas vezes terá uma solução única porque as três primeiras equações dão pivôs em três colunas; aqui para k=6 o posto da matriz de coeficientes é 3 igual ao posto da ampliada, indicando solução única).
Exemplo rápido para fixar a ideia (pequena lição): o sistema
\begin{cases} x+y=1\\[2pt] x+y=2 \end{cases}
leva, ao subtrair, a 0=1\] e é inconsistente. É a mesma lógica: uma linha do tipo \([0\\\ 0\mid c] com c\neq 0 indica inconsistencia.]

Resposta

(C) 6

Exercícios relacionados