Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}7 x+5 y+2 z=4, \\\\ 9 x+4 z=2, \\\\ -27 x-12 z=-6 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 20 x+40 y+45 z=25 \\\\ -21 x-6 y=-9 \\\ y=6 \end{array}\right.
(B) \left\{\begin{aligned} 4 x+8 y+9 z & =5, \\\\ 7 x+2 y & =3, \\\ y & =6 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned}-16 x-32 y-36 z & =-20, \\\\ -35 y-15 z & =-30 .\end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}20 x+40 y+45 z=25, \\\\ -21 y-9 z=-18 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned}-32 x-20 y-16 z & =-36, \\\\ -40 x-25 y-20 z & =-45 .\end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}35 x+25 y+10 z=20, \\\\ -27 x-12 z=-6 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned}-16 x-32 y-36 z & =-20, \\\\ -20 x-40 y-45 z & =-25 .\end{aligned}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}21 x+6 y=9, \\\\ 28 x+8 y=12 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}8 x+5 y+4 z=9, \\\\ 7 y+3 z=6, \\\\ -28 y-12 z=-24 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}4 x+8 y+9 z=5, \\\\ 20 x+40 y+45 z=25, \\\\ 7 x+2 y=3 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}-12 x-24 y-27 z=-15, \\\\ 35 y+15 z=30 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta seis opções (A)–(F). Em cada opção há dois sistemas lineares nas variáveis [x,y,z). A pergunta é: em qual opção os dois conjuntos-solução (do primeiro e do segundo sistema) têm dimensão 1 — isto é, cada conjunto-solução é uma reta em \mathbb{R}^{3}.
Vou listar, tal como dados no enunciado, os dois sistemas de cada opção:
  • (A) Primeiro sistema:
    \begin{cases} 7x+5y+2z=4,\\[4pt] 9x+4z=2,\\[4pt] -27x-12z=-6. \end{cases}
    Segundo sistema:
    \begin{cases} 20x+40y+45z=25,\\[4pt] -21x-6y=-9,\\[4pt] y=6. \end{cases}
  • (B) Primeiro sistema:
    \begin{cases} 4x+8y+9z=5,\\[4pt] 7x+2y=3,\\[4pt] y=6. \end{cases}
    Segundo sistema:
    \begin{cases} -16x-32y-36z=-20,\\[4pt] -35y-15z=-30. \end{cases}
  • (C) Primeiro sistema:
    \begin{cases} 20x+40y+45z=25,\\[4pt] -21y-9z=-18. \end{cases}
    Segundo sistema:
    \begin{cases} -32x-20y-16z=-36,\\[4pt] -40x-25y-20z=-45. \end{cases}
  • (D) Primeiro sistema:
    \begin{cases} 35x+25y+10z=20,\\[4pt] -27x-12z=-6. \end{cases}
    Segundo sistema:
    \begin{cases} -16x-32y-36z=-20,\\[4pt] -20x-40y-45z=-25. \end{cases}
  • (E) Primeiro sistema:
    \begin{cases} 21x+6y=9,\\[4pt] 28x+8y=12. \end{cases}
    Segundo sistema:
    \begin{cases} 8x+5y+4z=9,\\[4pt] 7y+3z=6,\\[4pt] -28y-12z=-24. \end{cases}
  • (F) Primeiro sistema:
    \begin{cases} 4x+8y+9z=5,\\[4pt] 20x+40y+45z=25,\\[4pt] 7x+2y=3. \end{cases}
    Segundo sistema:
    \begin{cases} -12x-24y-27z=-15,\\[4pt] 35y+15z=30. \end{cases}
O objetivo é verificar, para cada um desses seis pares, se os dois sistemas daquele par têm conjuntos-solução de dimensão (1].]

Passo 2

Método que vou usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Num sistema linear com 3 incógnitas x,y,z, se o sistema for consistente e a classificação das equações (o posto da matriz dos coeficientes) for r, então a dimensão do espaço solução é \text{dimensão do conjunto-solução} = 3 - r.ãçãIsso vem do teorema de Rouché–Capelli e da ideia básica de que equações independentes reduzem graus de liberdade.
  • Portanto, para que a solução seja uma reta em \mathbb{R}^3 precisamos que o sistema seja consistente e que o posto da matriz de coeficientes seja r=2 (porque 3-2=1).
  • Para determinar o posto r de maneira prática aqui, verifico se há:
    • uma equação que é múltipla escalar de outra (então não aumenta posto);
    • ou se uma equação é combinação linear das outras (redundância);
    • ou se as equações são linearmente independentes (aumentam o posto).
  • Também devo verificar consistência: se uma equação do tipo “múltiplo das anteriores” tiver ao mesmo tempo um lado direito incompatível, seria inconsistente (posto da matriz de coeficientes diferente do posto da matriz aumentada). Vou prestar atenção nesse ponto sempre que achar relações de proporcionalidade entre equações.
Agora vou aplicar esse procedimento, sistema a sistema, mostrando as contas e decisões.

Passo 3

Opção (A), primeiro sistema:
\begin{cases} 7x+5y+2z=4,\\[4pt] 9x+4z=2,\\[4pt] -27x-12z=-6. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Comparando a segunda e a terceira equações, note que a terceira é -3 vezes a segunda: -3\cdot(9x+4z)= -27x-12z,e também -3\cdot 2 = -6. Logo a terceira equação é dependente da segunda e não acrescenta informação.
  • As duas equações independentes possíveis são a primeira e a segunda, com coeficientes (7,5,2) e (9,0,4). Como o coeficiente de y na segunda é zero e na primeira é 5, essas duas linhas não são múltiplos uma da outra; portanto são linearmente independentes.
  • Logo o posto da matriz de coeficientes é r=2. Não há contradição (a terceira é múltiplo exato da segunda), então o sistema é consistente.
  • Portanto a dimensão do conjunto-solução é 3-2=1. Conclusão: o primeiro sistema de (A) tem solução que é uma reta.]

Passo 4

Opção (A), segundo sistema:
\begin{cases} 20x+40y+45z=25,\\[4pt] -21x-6y=-9,\\[4pt] y=6. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • A terceira equação fixa y. Substituo y=6 na segunda: -21x-6\cdot 6 = -21x-36 = -9,então -21x = 27 \quad\Rightarrow\quad x = -\dfrac{27}{21} = -\dfrac{9}{7}.
  • Com x e y conhecidos, substituo na primeira para obter z. Calcule: 20\left(-\dfrac{9}{7}\right) + 40\cdot 6 + 45z =25.
-\dfrac{180}{7} + 240 + 45z =25.
-\dfrac{180}{7} + \dfrac{1680}{7} + 45z =25 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1500}{7} + 45z =25.
45z = 25 - \dfrac{1500}{7} = \dfrac{175-1500}{7} = -\dfrac{1325}{7},
z = -\dfrac{1325}{7\cdot 45} = -\dfrac{1325}{315} = -\dfrac{265}{63}.
  • Obtivemos valores únicos para x,y,z. Portanto o posto da matriz de coeficientes é r=3 (três equações independentes efetivamente) e a solução é um ponto (dimensão 0).
  • Conclusão: o segundo sistema de (A) tem dimensão 0, não 1.]

Passo 5

Opção (B), primeiro sistema:
\begin{cases} 4x+8y+9z=5,\\[4pt] 7x+2y=3,\\[4pt] y=6. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • A terceira equação dá y=6. Substituo em 7x+2y=3: 7x+2\cdot 6 = 3 \quad\Rightarrow\quad 7x+12=3 \quad\Rightarrow\quad 7x=-9 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{9}{7}.
  • Substituo x e y na primeira para z: 4\left(-\dfrac{9}{7}\right) + 8\cdot 6 + 9z =5.
-\dfrac{36}{7} + 48 + 9z =5 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{36}{7} + \dfrac{336}{7} + 9z =5.
\dfrac{300}{7} + 9z =5 \quad\Rightarrow\quad 9z = 5 - \dfrac{300}{7} = \dfrac{35-300}{7} = -\dfrac{265}{7},
z = -\dfrac{265}{63}.
  • Houve solução única; posto r=3, dimensão 0.
  • Conclusão: primeiro sistema de (B) tem dimensão 0.]

Passo 6

Opção (B), segundo sistema:
\begin{cases} -16x-32y-36z=-20,\\[4pt] -35y-15z=-30. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Temos duas equações em três incógnitas. Os vetores de coeficientes são (-16,-32,-36) e (0,-35,-15).
  • Verifico se são múltiplos: comparar componentes em y \dfrac{-35}{-32}=\dfrac{35}{32}, em z \dfrac{-15}{-36}=\dfrac{5}{12}. Como \dfrac{35}{32}\neq \dfrac{5}{12}, as equações são linearmente independentes.
  • Logo o posto da matriz de coeficientes é r=2. Não há sinal de inconsistência (nenhuma é múltipla da outra com RHS conflitante), então o sistema é consistente.
  • Dimensão do conjunto-solução: 3-2=1.
  • Conclusão: segundo sistema de (B) tem dimensão 1, mas o primeiro tinha dimensão 0 — logo (B) não satisfaz a condição de que os dois sistemas tenham dimensão 1.]

Passo 7

Opção (C), primeiro sistema:
\begin{cases} 20x+40y+45z=25,\\[4pt] -21y-9z=-18. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Duas equações em três incógnitas; vetores (20,40,45) e (0,-21,-9).
  • Como o primeiro tem coeficiente de x diferente de zero e o segundo tem coeficiente de x igual a zero, as duas linhas não são múltiplos; são linearmente independentes.
  • Portanto posto r=2. Consistente (nenhuma contradição aparente).
  • Dimensão do conjunto-solução: 3-2=1.
  • Conclusão: primeiro sistema de (C) tem dimensão 1.]

Passo 8

Opção (C), segundo sistema:
\begin{cases} -32x-20y-16z=-36,\\[4pt] -40x-25y-20z=-45. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Verifico se a segunda equação é múltiplo da primeira. Computei a razão entre os coeficientes: \dfrac{-40}{-32} = \dfrac{5}{4},\qquad \dfrac{-25}{-20} = \dfrac{5}{4},\qquad \dfrac{-20}{-16} = \dfrac{5}{4},e também do lado direito: \dfrac{-45}{-36} = \dfrac{5}{4}.
  • Portanto a segunda equação é exatamente \tfrac{5}{4} vezes a primeira; as duas são dependentes e não aumentam o posto além de 1.
  • Assim o posto da matriz de coeficientes é r=1. O sistema é consistente (a RHS também segue a mesma proporção).
  • Dimensão do conjunto-solução: 3-1=2 (um plano), não 1.
  • Conclusão: o segundo sistema de (C) tem dimensão 2, logo (C) não serve.]

Passo 9

Opção (D), primeiro sistema:
\begin{cases} 35x+25y+10z=20,\\[4pt] -27x-12z=-6. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Dois vetores de coeficientes (35,25,10) e (-27,0,-12). O primeiro tem coeficiente de y não nulo e o segundo tem coeficiente de y igual a zero, portanto não são múltiplos; são linearmente independentes.
  • O posto é r=2, sistema consistente (sem contradição aparente).
  • Dimensão do conjunto-solução: 3-2=1.
  • Conclusão: primeiro sistema de (D) tem dimensão 1.]

Passo 10

Opção (D), segundo sistema:
\begin{cases} -16x-32y-36z=-20,\\[4pt] -20x-40y-45z=-25. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Comparei se há uma constante k tal que segunda = k·primeira. As razões são \dfrac{-20}{-16}=\dfrac{5}{4},\qquad \dfrac{-40}{-32}=\dfrac{5}{4},\qquad \dfrac{-45}{-36}=\dfrac{5}{4},e do lado direito \dfrac{-25}{-20}=\dfrac{5}{4}.
  • Portanto a segunda equação é \tfrac{5}{4} vezes a primeira; são dependentes. Assim o posto é r=1 e o conjunto-solução tem dimensão 3-1=2.
  • Conclusão: segundo sistema de (D) tem dimensão 2, logo (D) não serve.]

Passo 11

Opção (E), primeiro sistema:
\begin{cases} 21x+6y=9,\\[4pt] 28x+8y=12. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Isto é um sistema em x,y (sem z), o que efetivamente quer dizer que temos 2 equações em 3 incógnitas, mas ambas sem z.
  • Verifico se as duas equações são múltiplas: compare as razões \dfrac{28}{21}=\dfrac{4}{3},\qquad \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3},\qquad \dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}.
  • Portanto a segunda é \tfrac{4}{3} vezes a primeira; são dependentes. Posto r=1.
  • Assim a solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), não 1.
  • Conclusão: primeiro sistema de (E) tem dimensão 2.]

Passo 12

Opção (E), segundo sistema:
\begin{cases} 8x+5y+4z=9,\\[4pt] 7y+3z=6,\\[4pt] -28y-12z=-24. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Observei que a terceira equação é -4 vezes a segunda: -4\cdot(7y+3z) = -28y-12z,e do lado direito -4\cdot 6=-24. Logo a terceira é dependente da segunda.
  • As duas equações independentes (a primeira e a segunda) têm vetores (8,5,4) e (0,7,3), que não são múltiplos. Então o posto é r=2.
  • O sistema é consistente. Dimensão do conjunto-solução: 3-2=1.
  • Conclusão: segundo sistema de (E) tem dimensão 1, mas o primeiro tinha dimensão 2 — (E) não serve.]

Passo 13

Opção (F), primeiro sistema:
\begin{cases} 4x+8y+9z=5,\\[4pt] 20x+40y+45z=25,\\[4pt] 7x+2y=3. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Note que a segunda equação é 5 vezes a primeira: 5\cdot(4x+8y+9z)=20x+40y+45z,e 5\cdot 5 =25. Assim a segunda é dependente da primeira.
  • Ficam então duas equações independentes: a primeira (4,8,9) e a terceira (7,2,0). Esses vetores não são múltiplos (por exemplo a componente z do terceiro é 0 e a do primeiro é 9), então são linearmente independentes.
  • Portanto o posto é r=2 e o sistema consistente.
  • Dimensão do conjunto-solução: 3-2=1.
  • Conclusão: primeiro sistema de (F) tem dimensão 1.]

Passo 14

Opção (F), segundo sistema:
\begin{cases} -12x-24y-27z=-15,\\[4pt] 35y+15z=30. \end{cases}
Observações e cálculo:
  • Temos dois vetores coeficientes (-12,-24,-27) e (0,35,15). Não são múltiplos (o primeiro tem componente x não nula, o segundo tem componente x nula), logo são linearmente independentes.
  • Posto r=2. Verificando consistência: não há proporção contraditória entre os lados direitos; o sistema é consistente.
  • Dimensão do conjunto-solução: 3-2=1.
  • Conclusão: segundo sistema de (F) tem dimensão 1.]

Passo 15

Resumo dos resultados (dimensões dos conjuntos-solução, sistema por sistema):
  • (A): primeiro sistema \mapsto dimensão 1; segundo sistema \mapsto dimensão 0.
  • (B): primeiro sistema \mapsto dimensão 0; second \mapsto dimensão 1.
  • (C): primeiro system \mapsto dimensão 1; second \mapsto dimensão 2.
  • (D): primeiro system \mapsto dimensão 1; second \mapsto dimensão 2.
  • (E): first \mapsto dimensão 2; second \mapsto dimensão 1.
  • (F): first \mapsto dimensão 1; second \mapsto dimensão 1.
A única opção em que ambos os sistemas têm dimensão 1 é a opção (F).

Resposta

(F)

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