Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 7 \\\\ -9 \\\\ 4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 1 \\\\ -14 \\\\ 5 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins (planos de dimensão 2) em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Primeiro plano: ponto-base
p=\begin{pmatrix}3\\[4pt]7\\[4pt]-9\\[4pt]4\end{pmatrix}
e geradores
u=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então o primeiro plano é o conjunto
P_1=\{\,p + a\,u + b\,v \mid a,b\in\mathbb{R}\,\}.
  • Segundo plano: ponto-base
q=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]-14\\[4pt]5\end{pmatrix}
e geradores
s=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Então
P_2=\{\,q + c\,s + d\,t \mid c,d\in\mathbb{R}\,\}.
O que o enunciado pede: o ponto de interseção desses dois planos (isto é, o ponto x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que pertence simultaneamente a P_1 e a P_2). A pergunta final de múltipla escolha é o valor da componente x_{1}.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática e motivo): dois pontos iguais em \mathbb{R}^4 representam a interseção se existir (a,b,c,d) tais que
p + a\,u + b\,v = q + c\,s + d\,t.
Aqui a,b,c,d são escalares reais desconhecidos. Essa igualdade vetorial equivale a um sistema linear de quatro equações (uma por componente) nas quatro incógnitas a,b,c,d. Resolver esse sistema nos dá os parâmetros; então substituímos em, por exemplo, p + a u + b v para obter o ponto de interseção.
Breve lembrete sobre o porquê isso funciona: um plano afim é um ponto + combinação linear dos vetores geradores; se existir ponto comum, as duas representações devem ser iguais para alguns parâmetros. Igualdade de vetores em \mathbb{R}^4 significa igualdade coord a coord.

Passo 3

Escrevo a igualdade coordenada a coordenada. Denotando componentes na ordem (1,2,3,4), a igualdade p + a u + b v = q + c s + d t dá:
componente 1:
3 + a\cdot 1 + b\cdot(-2) = 4 + c\cdot 2 + d\cdot 2,
componente 2:
7 + a\cdot 3 + b\cdot 0 = 1 + c\cdot 1 + d\cdot 3,
componente 3:
-9 + a\cdot(-2) + b\cdot 3 = -14 + c\cdot(-2) + d\cdot 1,
componente 4:
4 + a\cdot 0 + b\cdot 1 = 5 + c\cdot 1 + d\cdot(-3).
Agora vou simplificar cada equação para obter um sistema linear padrão em a,b,c,d.

Passo 4

Transformo as equações em forma linear:
  1. Da componente 1:
3 + a -2b = 4 + 2c + 2d
passando tudo para o lado esquerdo:
a -2b -2c -2d = 1.
  1. Da componente 2:
7 + 3a = 1 + c + 3d
3a - c -3d = -6.
  1. Da componente 3:
-9 -2a +3b = -14 -2c + d
passando para o lado esquerdo:
-2a +3b +2c - d = -5.
  1. Da componente 4:
4 + b = 5 + c -3d
b - c +3d = 1.
Portanto o sistema é
\begin{cases} a -2b -2c -2d = 1,\\[4pt] 3a - c -3d = -6,\\[4pt] -2a +3b +2c - d = -5,\\[4pt] b - c +3d = 1. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver esse sistema passo a passo por substituição/eliminação (explicando cada manipulação). Da quarta equação isolo b:
b = 1 + c -3d.
Substituo essa expressão em (1) e em (3).
Substituindo em (1):
a -2(1 + c -3d) -2c -2d = 1.
Calculo os termos:
a -2 -2c +6d -2c -2d = 1
a -4c +4d -2 = 1
a -4c +4d = 3.
Assim:
a = 3 + 4c -4d.
Substituindo b e depois a na terceira equação (faço em dois passos). Primeiro substituo b em (3):
-2a +3(1 + c -3d) +2c - d = -5.
Explico: multiplica-se o 3 por cada termo de b. Agora expandindo:
-2a +3 +3c -9d +2c - d = -5.
Agrupando termos:
-2a +5c -10d +3 = -5.
Passando o 3 para o outro lado:
-2a +5c -10d = -8.
Agora substituo a = 3 +4c -4d:
-2(3 +4c -4d) +5c -10d = -8.
Expando:
-6 -8c +8d +5c -10d = -8.
Combino termos em c e d:
-6 -3c -2d = -8.
Passo o -6 para o outro lado:
-3c -2d = -2,
ou seja
3c +2d = 2.
Agora volto à segunda equação (2) e substituo a = 3 +4c -4d nela:
3a - c -3d = -6
3(3 +4c -4d) - c -3d = -6
9 +12c -12d - c -3d = -6
9 +11c -15d = -6
11c -15d = -15.
Assim reduzi o sistema para duas equações em c,d:
\begin{cases} 3c +2d = 2,\\[4pt] 11c -15d = -15. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema de duas equações em duas incógnitas. Da primeira:
2d = 2 - 3c \quad\Rightarrow\quad d = \dfrac{2-3c}{2}.
Substituo em 11c -15d = -15:
11c -15\left(\dfrac{2-3c}{2}\right) = -15.
Multiplico ambos os lados por 2 para evitar frações:
22c -15(2-3c) = -30.
Expando:
22c -30 +45c = -30.
67c -30 = -30
67c = 0
c = 0.
Com c=0, da primeira equação:
3\cdot 0 + 2d = 2 \quad\Rightarrow\quad d = 1.
Agora volto para encontrar b e a. Lembre que b = 1 + c -3d:
b = 1 + 0 -3\cdot 1 = -2.
E a = 3 + 4c -4d:
a = 3 + 0 -4\cdot 1 = -1.
Portanto os parâmetros encontrados são
a=-1,\quad b=-2,\quad c=0,\quad d=1.

Passo 7

Com os parâmetros, calculo explicitamente o ponto de interseção usando a expressão do primeiro plano p + a u + b v. Primeiro calculo a u e b v:
a\,u = -1\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}, \qquad b\,v = -2\cdot\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]-6\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Somando a u + b v:
a u + b v = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]-6\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\\[4pt]-4\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Agora somo com p:
p + a u + b v = \begin{pmatrix}3\\[4pt]7\\[4pt]-9\\[4pt]4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\\[4pt]-4\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt]4\\[4pt]-13\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Esse é o ponto de interseção (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = \bigl(6,\,4,\,-13,\,2\bigr).]

Resposta

(G) 6

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