Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins (planos de dimensão 2) em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
O que o enunciado pede: o ponto de interseção desses dois planos (isto é, o ponto x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que pertence simultaneamente a P_1 e a P_2). A pergunta final de múltipla escolha é o valor da componente x_{1}.]
Passo 2
Estratégia (explicação didática e motivo): dois pontos iguais em \mathbb{R}^4 representam a interseção se existir (a,b,c,d) tais que
p + a\,u + b\,v = q + c\,s + d\,t.
Aqui a,b,c,d são escalares reais desconhecidos. Essa igualdade vetorial equivale a um sistema linear de quatro equações (uma por componente) nas quatro incógnitas a,b,c,d. Resolver esse sistema nos dá os parâmetros; então substituímos em, por exemplo, p + a u + b v para obter o ponto de interseção.
Breve lembrete sobre o porquê isso funciona: um plano afim é um ponto + combinação linear dos vetores geradores; se existir ponto comum, as duas representações devem ser iguais para alguns parâmetros. Igualdade de vetores em \mathbb{R}^4 significa igualdade coord a coord.
Passo 3
Escrevo a igualdade coordenada a coordenada. Denotando componentes na ordem (1,2,3,4), a igualdade p + a u + b v = q + c s + d t dá:
a u + b v = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]-6\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\\[4pt]-4\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Agora somo com p:
p + a u + b v = \begin{pmatrix}3\\[4pt]7\\[4pt]-9\\[4pt]4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\\[4pt]-4\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt]4\\[4pt]-13\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Esse é o ponto de interseção (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = \bigl(6,\,4,\,-13,\,2\bigr).]