Q2: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 5 & 3 \\\\ -3 & -1 & 3 & k \end{array}\right]
Sobre este sistema, pode-se afirmar que:
(A) se k=-1, tem infinitas soluções.
(B) se k \neq-1, tem solução única.
(C) se k=1, tem infinitas soluções.
(D) se k \neq 1, tem solução única.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 5 & 3 \\\\ -3 & -1 & 3 & k \end{array}\right].
O que se pede é identificar, entre as alternativas (A)–(E), qual afirmação sobre existência/uniqueness das soluções é verdadeira. As alternativas relevantes são:
  • (A) se k=-1, tem infinitas soluções.
  • (B) se k\neq -1, tem solução única.
  • (C) se k=1, tem infinitas soluções.
  • (D) se k\neq 1, tem solução única.
  • (E) Não sei.
Informações dadas: os coeficientes e o termo independente (o parâmetro k) aparecem explicitamente na matriz aumentada acima. Não há mais informações externas.

Passo 2

Explicação dos conceitos usados (sem pular etapas):
  • Para um sistema linear com 3 incógnitas, a existência e o tipo de solução dependem das posturas dos pivôs (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.
  • Definições importantes:
    • \operatorname{rank}(A) é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes da matriz de coeficientes A.
    • \operatorname{rank}([A|b]) é o rank da matriz aumentada.
    • Teorema da Rouché–Capelli (condição de existência):
      • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=r e r=3 (nº de incógnitas), o sistema tem solução única.
      • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=r e r<3, o sistema tem infinitas soluções (há variáveis livres).
      • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b]), o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Duas maneiras práticas de aplicar isso: calcular \det(A) para ver se A é invertível (se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=3 e há solução única). Se \det(A)=0, faz-se eliminação de Gauss na matriz aumentada para verificar se a última linha se torna uma contradição (como [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0) ou uma linha nula.

Passo 3

Calcular o determinante da matriz de coeficientes A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[2pt] 2 & 3 & 5\\[2pt] -3 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 5\\[2pt]-1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[2pt]-3 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]-3 & -1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}3 & 5\\[2pt]-1 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-5\cdot(-1)=9+5=14,
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[2pt]-3 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-5\cdot(-3)=6+15=21,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]-3 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot(-3)=-2+9=7.
Portanto
\det(A)=1\cdot14-1\cdot21+1\cdot7=14-21+7=0.
Conclusão desta etapa: \det(A)=0, logo A não é invertível e \operatorname{rank}(A)<3. Portanto nunca haverá solução única para nenhum valor de k. (Isto já elimina as alternativas que afirmam solução única para certa condição.)]

Passo 4

Fazer eliminação de Gauss na matriz aumentada para identificar consistência e número de soluções, mostrando cada operação:
Matriz inicial:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 5 & 3 \\\\ -3 & -1 & 3 & k \end{array}\right].
Usar R_2 \leftarrow R_2-2R_1 e R_3 \leftarrow R_3+3R_1:
  • R_2-2R_1: (2-2\cdot1,\;3-2\cdot1,\;5-2\cdot1,\;3-2\cdot1)=(0,1,3,1).
  • R_3+3R_1: (-3+3\cdot1,\;-1+3\cdot1,\;3+3\cdot1,\;k+3\cdot1)=(0,2,6,k+3).
Nova matriz:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 6 & k+3 \end{array}\right].
Agora aplicar R_3 \leftarrow R_3-2R_2:
  • R_3-2R_2: (0-2\cdot0,\;2-2\cdot1,\;6-2\cdot3,\;(k+3)-2\cdot1)=(0,0,0,k+1).
Resultado da eliminação:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & k+1 \end{array}\right].

Passo 5

Analisar a última linha obtida [0\\\ 0\\\ 0\mid k+1]:
  • Se k+1\neq 0 (ou seja, k\neq -1), a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0. Isso representa a equação 0= c com c\neq0, uma contradição. Logo \operatorname{rank}([A|b])=3 enquanto \operatorname{rank}(A)=2, portanto o sistema é inconsistente — não tem solução.
  • Se k+1=0 (ou seja, k=-1), a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\mid 0]. Então \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2<3. Pelo teorema, o sistema é consistente e tem infinitas soluções (há uma variável livre).

Passo 6

Encontrar a forma paramétrica das soluções quando k=-1\) (para ver concretamente como ficam as infinitas soluções): Com \(k=-1\), a matriz reduzida é \[\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Chamando as incógnitas de x,y,z (na ordem das colunas), as equações são:
\begin{cases} y+3z=1,\\[4pt] x+y+z=1. \end{cases}
Da primeira: y=1-3z\]. Da segunda: \(x=1-y-z=1-(1-3z)-z=2z.
Tomando z=t como parâmetro livre, a solução geral é
(x,y,z)=(2t,\;1-3t,\;t)= (0,1,0) + t\,(2,-3,1),
com t\in\mathbb{R}. Isso mostra explicitamente as infinitas soluções quando k=-1.]

Resposta

(A)

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