Sobre este sistema, pode-se afirmar que:
(A) se k=-1, tem infinitas soluções.
(B) se k \neq-1, tem solução única.
(C) se k=1, tem infinitas soluções.
(D) se k \neq 1, tem solução única.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear representado pela matriz aumentada
O que se pede é identificar, entre as alternativas (A)–(E), qual afirmação sobre existência/uniqueness das soluções é verdadeira. As alternativas relevantes são:
(A) se k=-1, tem infinitas soluções.
(B) se k\neq -1, tem solução única.
(C) se k=1, tem infinitas soluções.
(D) se k\neq 1, tem solução única.
(E) Não sei.
Informações dadas: os coeficientes e o termo independente (o parâmetro k) aparecem explicitamente na matriz aumentada acima. Não há mais informações externas.
Passo 2
Explicação dos conceitos usados (sem pular etapas):
Para um sistema linear com 3 incógnitas, a existência e o tipo de solução dependem das posturas dos pivôs (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.
Definições importantes:
\operatorname{rank}(A) é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes da matriz de coeficientes A.
\operatorname{rank}([A|b]) é o rank da matriz aumentada.
Teorema da Rouché–Capelli (condição de existência):
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=r e r=3 (nº de incógnitas), o sistema tem solução única.
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=r e r<3, o sistema tem infinitas soluções (há variáveis livres).
Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b]), o sistema é inconsistente (sem solução).
Duas maneiras práticas de aplicar isso: calcular \det(A) para ver se A é invertível (se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=3 e há solução única). Se \det(A)=0, faz-se eliminação de Gauss na matriz aumentada para verificar se a última linha se torna uma contradição (como [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0) ou uma linha nula.
Passo 3
Calcular o determinante da matriz de coeficientes A:
Conclusão desta etapa: \det(A)=0, logo A não é invertível e \operatorname{rank}(A)<3. Portanto nunca haverá solução única para nenhum valor de k. (Isto já elimina as alternativas que afirmam solução única para certa condição.)]
Passo 4
Fazer eliminação de Gauss na matriz aumentada para identificar consistência e número de soluções, mostrando cada operação:
Matriz inicial:
Analisar a última linha obtida [0\\\ 0\\\ 0\mid k+1]:
Se k+1\neq 0 (ou seja, k\neq -1), a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0. Isso representa a equação 0= c com c\neq0, uma contradição. Logo \operatorname{rank}([A|b])=3 enquanto \operatorname{rank}(A)=2, portanto o sistema é inconsistente — não tem solução.
Se k+1=0 (ou seja, k=-1), a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\mid 0]. Então \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2<3. Pelo teorema, o sistema é consistente e tem infinitas soluções (há uma variável livre).
Passo 6
Encontrar a forma paramétrica das soluções quando k=-1\) (para ver concretamente como ficam as infinitas soluções):
Com \(k=-1\), a matriz reduzida é
\[\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Chamando as incógnitas de x,y,z (na ordem das colunas), as equações são:
\begin{cases} y+3z=1,\\[4pt] x+y+z=1. \end{cases}
Da primeira: y=1-3z\].
Da segunda: \(x=1-y-z=1-(1-3z)-z=2z.
Tomando z=t como parâmetro livre, a solução geral é
(x,y,z)=(2t,\;1-3t,\;t)= (0,1,0) + t\,(2,-3,1),
com t\in\mathbb{R}. Isso mostra explicitamente as infinitas soluções quando k=-1.]