Q3: Considere o sistema linear dado pela matriz aumentada abaixo:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -2 & 0 & 1 & 14 \\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \end{array}\right]
Seu conjunto-solução pode ser parametrizado por:
(A) (7,0,1,0)+r(1,0,9,-2)
(B) (7,0,1,0)+r(2,2,0,14)+s(1,0,9,-2)
(C) (7,0,1,0)+r(2,2,0,0)
(D) (7,0,1,0)+r(2,2,0,0)+s(1,0,8,-2)
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
  • Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -2 & 0 & 1 & 14 \\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \end{array}\right]
  • Quero parametrizar o conjunto solução do sistema linear associado a essa matriz e escolher qual das alternativas (A)–(E) descreve corretamente essa parametrização.
Vou chamar as incógnitas de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}). A resolução começa a partir das duas equações que essa matriz representa.

Passo 2

Escrevendo explicitamente as duas equações que a matriz representa:
Primeira linha:
2x_{1}-2x_{2}+0\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}=14,
ou seja
2x_{1}-2x_{2}+x_{4}=14.
Segunda linha:
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}+4\cdot x_{4}=1,
ou seja
x_{3}+4x_{4}=1.
Estas duas equações são todas as restrições que o sistema impõe às quatro incógnitas.

Passo 3

Resolver a segunda equação para uma variável pivot (ensino rápido: variável pivot é aquela que aparece com coeficiente não nulo e permite expressá-la em função das outras — assim reduzimos incógnitas). Da segunda equação:
x_{3}+4x_{4}=1\quad\Rightarrow\quad x_{3}=1-4x_{4}.
Isso já nos dá x_{3} em termos de x_{4}. Perceba que x_{4} ainda é livre por enquanto (não aparece com coeficiente que permita isolá-lo numa outra equação independente).

Passo 4

Agora isolamos x_{1} pela primeira equação. A primeira equação é
2x_{1}-2x_{2}+x_{4}=14.
Isolando x_{1}:
2x_{1}=14+2x_{2}-x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=7+x_{2}-\frac{x_{4}}{2}.
Aqui note uma fração -\dfrac{x_{4}}{2}. Para evitar frações nos vetores da parametrização, é comum fazer uma substituição conveniente para os parâmetros (vou mostrar já).

Passo 5

Identificar variáveis livres e escolher parâmetros claros (dica prática para prova: escolha parâmetros que tornem coeficientes inteiros para facilitar visualização).
  • Das equações temos duas equações independentes para quatro incógnitas, então sobram duas variáveis livres. Uma escolha natural é tomar x_{2} e x_{4} como parâmetros livres.
  • Para evitar a fração em x_{1}, defino um parâmetro r para x_{2} e um parâmetro s relacionado a x_{4} de modo que x_{4} seja múltiplo de 2. Escolho
x_{2}=r,\qquad x_{4}=2s.
Com essa escolha x_{4}/2=s e desaparece a fração em x_{1}.
Agora escrevo as outras variáveis em função de r e s:
  • Pela fórmula de x_{1}:
x_{1}=7+x_{2}-\frac{x_{4}}{2}=7+r-s.
  • Já temos x_{2}=r.
  • Pela expressão de x_{3}:
x_{3}=1-4x_{4}=1-4(2s)=1-8s.
  • E x_{4}=2s por definição.

Passo 6

Escrever a solução geral como soma da solução particular mais combinação linear das soluções da homogênea (explicação curta: qualquer solução é uma solução particular mais uma combinação de vetores da solução do sistema homogêneo associado).
A solução geral fica
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(7+r-s,\; r,\; 1-8s,\; 2s).
Separando a parte particular (tomando r=0,s=0 dá a solução particular) e os vetores associados aos parâmetros:
(7+r-s,\; r,\; 1-8s,\; 2s)=(7,0,1,0)+r(1,1,0,0)+s(-1,0,-8,2).
Portanto o conjunto solução é
\{(7,0,1,0)+r(1,1,0,0)+s(-1,0,-8,2)\mid r,s\in\mathbb{R}\}.

Passo 7

Comparar com as alternativas fornecidas.
  • Alternativas com apenas um parâmetro (A) e (C) não podem estar corretas porque o espaço solução tem dimensão 2 (temos dois parâmetros livres). Então (A) e (C) estão descartadas.
  • Verifico a (B): ela propõe um vetor da homogênea igual a (2,2,0,14). Se esse vetor estivesse na solução homogênea deveria satisfazer as equações homogêneas
2x_{1}-2x_{2}+x_{4}=0,\qquad x_{3}+4x_{4}=0.
Para (2,2,0,14) calcule x_{3}+4x_{4}=0+4\cdot14=56\neq0. Logo (2,2,0,14) não satisfaz a segunda equação homogênea e, portanto, (B) é falsa.
  • Verifico a (D): ela propõe
(7,0,1,0)+r(2,2,0,0)+s(1,0,8,-2).
Note que (2,2,0,0)=2(1,1,0,0) e (1,0,8,-2)=-1\cdot(-1,0,-8,2). Ou seja, os vetores em (D) geram o mesmo subespaço que os vetores que eu achei para a homogênea, porque multiplicar um vetor por uma constante ou trocar o sinal não altera o espaço gerado por eles. Explicitamente existe uma mudança de parâmetros (por exemplo r_{\text{D}}=\tfrac{r}{2} e s_{\text{D}}=-s) que transforma minha forma em precisamente a forma dada em (D). Assim (D) descreve exatamente o mesmo conjunto solução.

Passo 8

Conclusão: a alternativa correta é (D), pois descreve a mesma parametrização afim com dois parâmetros livres; as outras alternativas estão incorretas por terem dimensão errada ou vetores que não pertencem ao espaço homogêneo.

Resposta

(D)

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