Q1: Considere um sistema linear não-homogêneo de 3 equações em 5 incógnitas tal que \vec{x}_{1} e \vec{x}_{2} sejam duas soluções distintas. Qual das afirmações abaixo acerca do conjunto-solução deste sistema é falsa?
(A) Não é uma reta.
(B) Contém o plano gerado por \vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}.
(C) Contém a reta que passa por \vec{x}_{1} e \vec{x}_{2}.
(D) É infinito.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um sistema linear não-homogêneo com 3 equações e 5 incógnitas.
  • \vec{x}_{1} e \vec{x}_{2} são duas soluções distintas desse sistema.
O que é pedido:
  • Entre as alternativas (A)–(E), identificar qual afirmação acerca do conjunto–solução é falsa. As alternativas são:
    • (A) Não é uma reta.
    • (B) Contém o plano gerado por \vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}.
    • (C) Contém a reta que passa por \vec{x}_{1} e \vec{x}_{2}.
    • (D) É infinito.
    • (E) Não sei

Passo 2

Primeiro fato importante (definição útil): se um sistema linear não-homogêneo A\vec{x}=\vec{b} tem pelo menos uma solução \vec{x}_p, então o conjunto de todas as soluções é
\{\vec{x}_p + \vec{v} \mid \vec{v}\in\ker(A)\},
ou seja, uma solução particular mais todos os vetores do núcleo (espaço nulo) de A. Em palavras: o conjunto de soluções é um subespaço afim — uma translação do espaço nulo por uma solução particular.
Explicação curta do porquê: se \vec{x} e \vec{y} são soluções, então A(\vec{x}-\vec{y})=\vec{0}, logo \vec{x}-\vec{y}\in\ker(A). E para qualquer \vec{v}\in\ker(A), A(\vec{x}_p+\vec{v})=A\vec{x}_p+A\vec{v}=\vec{b}+\vec{0}=\vec{b}.

Passo 3

Aplicando o teorema da dimensão (rank–nullity) à matriz A de tamanho 3\times5: se \operatorname{rank}(A)=r então
\dim(\ker(A))=5-r.
Como r\le 3 (número de linhas), segue que
\dim(\ker(A))\ge 5-3=2.
Ou seja, o espaço nulo tem dimensão pelo menos 2. Consequência imediata: o conjunto de soluções (uma tradução desse espaço nulo) tem dimensão pelo menos 2 — isto é, é pelo menos um plano afim (duas dimensões) e não pode ser apenas uma reta (uma dimensão).

Passo 4

Consequence para (A): a afirmação (A) “Não é uma reta.” é verdadeira, porque o conjunto de soluções tem dimensão \ge 2. Então afirmar que NÃO é uma reta está correto.
Explicação prática: uma reta seria um conjunto unidimensional; aqui há pelo menos dois graus de liberdade livres entre as 5 incógnitas, logo não cabe numa reta.

Passo 5

Verificando (C): a reta que passa por \vec{x}_1 e \vec{x}_2 está contida no conjunto de soluções. Razão: qualquer ponto da reta pode ser escrito como
\vec{x}(t)=\vec{x}_1 + t(\vec{x}_2-\vec{x}_1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Como A\vec{x}_1=\vec{b} e A\vec{x}_2=\vec{b}, temos A(\vec{x}_2-\vec{x}_1)=\vec{0}. Logo para todo t,
A\vec{x}(t)=A\vec{x}_1 + tA(\vec{x}_2-\vec{x}_1)=\vec{b}+t\cdot\vec{0}=\vec{b},
portanto \vec{x}(t) é solução para todo t. Assim (C) é verdadeira.

Passo 6

Verificando (D): como já vimos \dim(\ker(A))\ge 2, o conjunto de soluções é uma família paramétrica com pelo menos dois parâmetros livres; isto implica que há infinitas soluções. Então (D) é verdadeira.

Passo 7

Agora (B): “Contém o plano gerado por \vec{x}_1,\vec{x}_2.” Precisamos ser cuidadosos com a palavra “plano gerado por \vec{x}_1,\vec{x}_2”: normalmente isto significa o subespaço linear \operatorname{span}\{\vec{x}_1,\vec{x}_2\}=\{a\vec{x}_1+b\vec{x}_2\mid a,b\in\mathbb{R}\}, que passa pela origem. Mas o conjunto de soluções é, em geral, uma translação do espaço nulo por uma solução particular — um conjunto afim que NÃO passa pela origem quando o sistema é não-homogêneo.
Argumento simples e geral mostrando que (B) é falso em geral: para escalares a,b quaisquer,
A(a\vec{x}_1+b\vec{x}_2)=aA\vec{x}_1+bA\vec{x}_2=(a+b)\vec{b}.
Para que a\vec{x}_1+b\vec{x}_2 seja solução é necessário (a+b)\vec{b}=\vec{b}, ou seja a+b=1. Portanto somente combinações lineares com coeficientes somando 1 (essas são as combinações afins) pertencem ao conjunto de soluções. Mas o plano gerado por \vec{x}_1,\vec{x}_2 permite a+b arbitrários; muitos pontos desse plano não satisfazem a+b=1 e, consequentemente, não são soluções. Logo o plano linear \operatorname{span}\{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} em geral não está contido no conjunto de soluções.
Exemplo concreto para fixar a ideia: considere a matriz
A=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\[4pt]0&1&0&0&0\\[4pt]0&0&0&0&0\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As soluções são todos os vetores da forma (1,1,s,t,u). Tomemos \vec{x}_1=(1,1,0,0,0) e \vec{x}_2=(1,1,1,0,0). A reta entre \vec{x}_1 e \vec{x}_2 está no conjunto de soluções. Mas o plano \operatorname{span}\{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} contém, por exemplo, \tfrac12\vec{x}_1-\tfrac12\vec{x}_2=(0,0,-\tfrac12,0,0), que NÃO satisfaz as primeiras duas coordenadas iguais a 1, logo não é solução. Portanto esse plano linear não está contido no conjunto de soluções. Isso mostra que (B) é falsa em geral.]

Passo 8

Conclusão: as afirmativas (A), (C) e (D) são verdadeiras; (B) é, em geral, falsa. A alternativa (E) “Não sei” não é a resposta correta.

Resposta

(B)

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