Seja A uma matriz inversível de ordem n. Mostre que \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem n que é invertível. Isso significa que existe uma matriz A^{-1} de ordem n tal que
A A^{-1}=A^{-1}A=I_n.
A pergunta é: mostrar que
\operatorname{det}\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante que usaremos: para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem vale
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}(X)\,\operatorname{det}(Y).
O que essa propriedade diz em palavras é que o determinante é multiplicativo: o fator de escala de volume associado à transformação linear XY é o produto dos fatores de escala de X e de Y. Uma justificativa simples e intuitiva é a seguinte: aplicar Y transforma um volume por um fator \operatorname{det}(Y); em seguida aplicar X escala esse resultado por \operatorname{det}(X); portanto a composição escala por \operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y). Formalmente, a multiplicatividade pode ser provada construindo matrizes elementares (que correspondem a operações de linha) e observando que qualquer matriz invertível se escreve como produto de matrizes elementares, e que a propriedade vale para essas matrizes elementares (cujo determinante é fácil de calcular); estendendo-se pelo produto obtém-se a propriedade para todas as matrizes quadradas.

Passo 3

Usando a multiplicatividade do determinante na igualdade A A^{-1}=I_n obtemos
\operatorname{det}\!\left(A A^{-1}\right)=\operatorname{det}\!\left(I_n\right).
Pelo lado esquerdo, pela multiplicatividade,
\operatorname{det}\!\left(A A^{-1}\right)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\!\left(A^{-1}\right).

Passo 4

Pelo lado direito, sabemos que o determinante da matriz identidade é 1:
\operatorname{det}\!\left(I_n\right)=1.
Assim das igualdades anteriores segue
\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\!\left(A^{-1}\right)=1.

Passo 5

Como A é invertível, necessariamente \operatorname{det}(A)\neq 0. (Se \operatorname{det}(A)=0 as colunas de A seriam linearmente dependentes, a transformação não teria inversa e A seria singular.) Portanto podemos dividir a igualdade do Passo 4 por \operatorname{det}(A) sem problemas e obter
\operatorname{det}\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}.

Passo 6

Para fixar a ideia, veja o caso 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},\qquad \operatorname{det}(A)=ad-bc\neq0,
então
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
O determinante de A^{-1} é
\operatorname{det}\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{(ad-bc)^2}\bigl(ad-bc\bigr)=\frac{1}{ad-bc}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)},
o que confirma a fórmula no exemplo concreto.]

Resposta

\displaystyle \operatorname{det}\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}

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