Seja
uma matriz inversível de ordem
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
que é invertível. Isso significa que existe uma matriz
de ordem
tal que
A pergunta é: mostrar que
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante que usaremos: para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem vale
O que essa propriedade diz em palavras é que o determinante é multiplicativo: o fator de escala de volume associado à transformação linear
é o produto dos fatores de escala de
e de
. Uma justificativa simples e intuitiva é a seguinte: aplicar
transforma um volume por um fator
; em seguida aplicar
escala esse resultado por
; portanto a composição escala por
. Formalmente, a multiplicatividade pode ser provada construindo matrizes elementares (que correspondem a operações de linha) e observando que qualquer matriz invertível se escreve como produto de matrizes elementares, e que a propriedade vale para essas matrizes elementares (cujo determinante é fácil de calcular); estendendo-se pelo produto obtém-se a propriedade para todas as matrizes quadradas.
Passo 3
Usando a multiplicatividade do determinante na igualdade
obtemos
Pelo lado esquerdo, pela multiplicatividade,
Passo 4
Pelo lado direito, sabemos que o determinante da matriz identidade é
:
Assim das igualdades anteriores segue
Passo 5
Como
é invertível, necessariamente
. (Se
as colunas de
seriam linearmente dependentes, a transformação não teria inversa e
seria singular.) Portanto podemos dividir a igualdade do Passo 4 por
sem problemas e obter
Passo 6
Para fixar a ideia, veja o caso
. Se
então
O determinante de
é
o que confirma a fórmula no exemplo concreto.]