Considere o sistema linear:
rll5 x1+2 x2+x3 & = & -12 -x1+4 x2+2 x3 & = & 20 2 x1-3 x2+10 x3 & = & 3
Resolva utilizando:
Decomposição LU (sem e com pivoteamento parcial)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A,x = b, A = 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10 , b = -12203
usando decomposição LU sem pivoteamento e também com pivoteamento parcial.
O conteúdo é Álgebra Linear: fatoração A = LU (ou P,A=LU) e depois resolver L,y=b e U,x=y.

Passo 2

Fatoração LU sem pivoteamento (método de Doolittle)
  1. Pivot em ,a11=5neq0. Calculo das primeiras colunas de L e primeira linha de U:
U11=5,;U12=2,;U13=1, L21 = -15,;L31 = 25
  1. Atualizo para achar U22,U23:
U22 = 4 - L21,U12 = 4 - l(-tfrac15r)cdot2 = 225, U23 = 2 - L21,U13 = 2 - l(-tfrac15r)cdot1 = 115
  1. Calculo L32 e finalmente U33:
L32 = -3 - L31,U12U22 = -3 - tfrac25cdot222/5 = -1922,
U33 = 10 - L31,U13 - L32,U23 = 10 - tfrac25cdot1 - l(-tfrac1922r)!cdot!tfrac115 = 25322
Logo
L = 1 & 0 & 0 -tfrac15 & 1 & 0 tfrac25 & -tfrac1922 & 1 , U = 5 & 2 & 1 0 & tfrac225 & tfrac115 0 & 0 & tfrac25322

Passo 3

Resolver L,y=b e depois U,x=y.
  1. L,y=b
y1 = -12, y2 = 20 - l(-tfrac15r)(-12) = 885, y3 = 3 - tfrac25(-12) - l(-tfrac1922r)885 = 23
  1. U,x=y dá em ordem regressiva
x3 = y3U33 = 23253/22 = 2, x2 = y2 - tfrac115,x322/5 = 3, x1 = y1 - 2,x2 - 1,x35 = -4

Passo 4

Pivoteamento parcial:
– Para a coluna 1 o maior em valor absoluto é |5|, já em linha 1, então não há troca.
– Após eliminação da coluna 1, o pivô da coluna 2 é tfrac225, maior que l|-tfrac195r|, então também não trocamos.
Logo a matriz de permutação é P=I e a fatoração P,A=LU fornece o mesmo L e U do Passo 2.

Passo 5

Resolver P,A,x=P,b. Como P=I, fica idêntico ao caso sem pivô:
L,y = b, U,x = y
e conduz exatamente ao mesmo vetor solução (x1,x2,x3).

Resposta

(x1,x2,x3) = (-4,;3,;2)

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