Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
ld xd t=3 x-y d yd t=9 x-3 y

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes
dxdt=3x-y, dydt=9x-3y
O conteúdo é solução de sistemas lineares via autovalores e autovetores (quando há multiplicidade, usamos vetor generalizado).

Passo 2

Escrevemos em forma matricial X' = A,X, onde
X = x y , A = 3 & -1 9 & -3
Procuramos os autovalores de A pela equação característica det(A - lambda I) = 0.

Passo 3

Calculamos
detl(A - lambda Ir) = det 3 - lambda & -1 9 & -3 - lambda = (3 - lambda)(-3 - lambda) - (-1) cdot 9 = lambda^2
Logo lambda = 0 é raiz dupla.

Passo 4

Buscamos o autovetor
que dá .

Passo 5

Como só há um autovetor, precisamos de um vetor generalizado w satisfazendo
(A-0!I), w = v ;Longrightarrow; A w= v
Se w=(w1,w2)^T, a primeira linha dá 3w1-w2=1. Escolhendo w1=0 obtemos w2=-1, ou seja w=(0,-1)^T.

Passo 6

A forma geral da solução para autovalor duplo com vetor generalizado é
X(t) = C1 e^0 t v + C2 e^0 t l(t , v + wr) = C1 v + C2 l(t , v + wr)
Escrevendo componentes:
x(t) = C1 cdot 1 + C2 cdot t, [4pt] y(t) = C1 cdot 3 + C2 l(3 t - 1r) ]

Resposta

x(t)=C1 + C2,t, y(t)=3C1 +3C2,t - C2,
com C1,C2 constantes arbitárias.

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