Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é solução de sistemas lineares via autovalores e autovetores (quando há multiplicidade, usamos vetor generalizado).
Passo 2
Escrevemos em forma matricial
X' = A,X , onde
Procuramos os autovalores de
A pela equação característica
det(A - lambda I) = 0 .
Passo 3
Calculamos
Logo
lambda = 0 é raiz dupla.
Passo 4
Buscamos o autovetor
que dá .
Passo 5
Como só há um autovetor, precisamos de um vetor generalizado
w satisfazendo
Se
w=(w1,w2)^T , a primeira linha dá
3w1-w2=1 . Escolhendo
w1=0 obtemos
w2=-1 , ou seja
w=(0,-1)^T .
Passo 6
A forma geral da solução para autovalor duplo com vetor generalizado é
Escrevendo componentes:
Resposta
com
C1,C2 constantes arbitárias.