Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^{\prime}=\left(
\right) X
X^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear a coeficientes constantes
O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando autovalores, autovetores e, se necessário, vetores generalizados (caso haja multiplicidade algébrica maior que a geométrica).]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Logo
isto é, há um autovalor
de multiplicidade algébrica
.]
Passo 3
Buscamos autovetores resolvendo
:
Podemos escolher o autovetor
Como só apareceu um vetor livre, a multiplicidade geométrica é
e precisamos de um vetor generalizado.]
Passo 4
Procuramos
tal que
Isto é,
Da primeira equação
obtemos
. Escolhendo
dá
. Assim
é um vetor generalizado.]
Passo 5
A solução geral do sistema com autovalor simples repetido e vetor generalizado é
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
com
.