Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^{\prime}=\left( cc12 & -9 4 & 0\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear a coeficientes constantes
X' = A,X, A = 12 & -9[6pt]4 & 0
O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando autovalores, autovetores e, se necessário, vetores generalizados (caso haja multiplicidade algébrica maior que a geométrica).]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det12-lambda & -9[4pt]4 & -lambda = (12-lambda)(-lambda)-(-9)cdot4 = lambda^2 -12lambda +36
Logo
lambda^2 -12lambda +36 = (lambda-6)^2,
isto é, há um autovalor lambda=6 de multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Buscamos autovetores resolvendo :
Podemos escolher o autovetor
Como só apareceu um vetor livre, a multiplicidade geométrica é e precisamos de um vetor generalizado.]

Passo 4

Procuramos tal que
Isto é,
Da primeira equação obtemos . Escolhendo . Assim
é um vetor generalizado.]

Passo 5

A solução geral do sistema com autovalor simples repetido e vetor generalizado é
X(t) = C1,e^6t,v1 + C2,e^6t,(t,v1 + w),
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t) = C1,e^6t 32 + C2,e^6t l( t32 + tfrac120 r),
com C1,C2inR.

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