(a) Escreva o sistema na forma matricial A X=B.
(b) Discuta as soluções do sistema linear em função do parâmetro a.
(c) Para quais valores de a o sistema possui solução única? Qual a solução para a=0 ?
(d) Escreva a matriz dos coeficientes A substituindo a por 3 e calcule A^{-1}.
(e) Qual a solução do sistema A X=B, \operatorname{com} A sendo a matriz obtida fazendo a=-1 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
O sistema escrito na forma “coluna esquerda / coluna direita” corresponde às três equações (peguei os termos das duas colunas e juntei):
\;x-2y+3z=1.
\;2x+0\cdot y+a z=2.
\;0\cdot x+y-z=0.
As perguntas são:
(a) Escrever o sistema na forma matricial A X=B.
(b) Discutir as soluções em função do parâmetro a.
(c) Para quais valores de a o sistema tem solução única? Qual é a solução para a=0?
(d) Substituir a=3 na matriz dos coeficientes A e calcular A^{-1}.
(e) Resolver o sistema A X=B quando a=-1.
Passo 2
Escrever o sistema na forma matricial A X=B. Vou colocar as incógnitas na ordem \(X=(x,y,z)^{T}).
A matriz dos coeficientes A (peguei os coeficientes das três equações acima) é
e o termo independente é (peguei os termos à direita das equações)
B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto a forma matricial pedida é
A X = B,\quad\text{com }A,\;X,\;B\text{ como acima.}]
Passo 3
Vou estudar a existência e unicidade de soluções usando o determinante de A. Breve lembrete didático: para uma matriz quadrada 3\times3, se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema A X=B tem solução única; se \det(A)=0 pode haver nenhuma ou infinitas soluções, sendo necessário analisar consistência (rangos).
Calculo o determinante de A (expansão pela primeira linha, explicando cada termo):
Conclusão: \det(A)=2-a. Então A é invertível exatamente quando 2-a\neq0, ou seja, quando a\neq2.]
Passo 4
Discutir as soluções em função de [a) (usar o resultado \det(A)=2-a).
Se \;a\neq2, então \det(A)\neq0. Nesse caso A é invertível e o sistema A X=B tem única solução para qualquer B. (Explicação curta: porque existe A^{-1} e X=A^{-1}B.)
Se \;a=2, então \det(A)=0. É preciso verificar consistência e o número de soluções fazendo eliminação (rank). Vou fazer eliminação com a=2.
Dividindo R_2 por 4 dá R_2=(0,1,-1,0). Note que R_3=(0,1,-1,0) também. Logo as três equações reduzem-se a duas independentes. As equações reduzidas são
A segunda dá y=z\]. Substituindo na primeira:
\[x-2z+3z=1\quad\Rightarrow\quad x+z=1\quad\Rightarrow\quad x=1-z.\]
Portanto, para \(a=2 o sistema é consistente e tem infinitas soluções parametrizadas por z=t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(1-t,\;t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.
Resumo da discussão:
a\neq2: solução única.
a=2: infinitas soluções, família (1-t,t,t).]
Passo 5
Responder (c) explicitamente e calcular a solução para [a=0).
Pelo item anterior, o sistema tem solução única quando \;a\neq2.
Agora para \;a=0 (caso específico com solução única porque 0\neq2), escrevo o sistema:
Montamos a matriz aumentada (A\mid I) e aplicamos eliminação (mostro os passos essenciais):
R_2\leftarrow R_2-2R_1:
R_2=(0,\;4,\;-3\mid -2,\;1,\;0).
Fazer R_3\leftarrow R_3-\tfrac{1}{4}R_2 para zerar a posição (3,2), depois normalizar e prosseguir até obter a forma reduzida. Seguindo estes cálculos (detalhei-os durante resolução), obtemos a forma reduzida final que produz I à esquerda e A^{-1} à direita.
Verificação rápida (cheque conceptual): \det(A)=2-a=2-3=-1\neq0, então a inversa existe e a matriz inteira de inteiros acima é consistente com o processo (pode ser verificada multiplicando A por A^{-1} e obtendo I).]
(b) \det(A)=2-a. Se \;a\neq2 então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única. Se \;a=2 então \det(A)=0 e o sistema é consistente com infinitas soluções parametrizadas por t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(1-t,\;t,\;t).
(c) O sistema possui solução única para todo \;a\neq2. Para \;a=0 a solução é (x,y,z)=(1,0,0).