Considere o sistema linear a seguir
\square x -2 y+3 z=1
2 x +a z=2
y -z
\square =0
(a) Escreva o sistema na forma matricial A X=B.
(b) Discuta as soluções do sistema linear em função do parâmetro a.
(c) Para quais valores de a o sistema possui solução única? Qual a solução para a=0 ?
(d) Escreva a matriz dos coeficientes A substituindo a por 3 e calcule A^{-1}.
(e) Qual a solução do sistema A X=B, \operatorname{com} A sendo a matriz obtida fazendo a=-1 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O sistema escrito na forma “coluna esquerda / coluna direita” corresponde às três equações (peguei os termos das duas colunas e juntei):
    1. \;x-2y+3z=1.
    2. \;2x+0\cdot y+a z=2.
    3. \;0\cdot x+y-z=0.
  • As perguntas são:
    (a) Escrever o sistema na forma matricial A X=B.
    (b) Discutir as soluções em função do parâmetro a.
    (c) Para quais valores de a o sistema tem solução única? Qual é a solução para a=0?
    (d) Substituir a=3 na matriz dos coeficientes A e calcular A^{-1}.
    (e) Resolver o sistema A X=B quando a=-1.

Passo 2

Escrever o sistema na forma matricial A X=B. Vou colocar as incógnitas na ordem \(X=(x,y,z)^{T}).
  • A matriz dos coeficientes A (peguei os coeficientes das três equações acima) é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 0 & a\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
  • O vetor incógnita é
X=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix},
e o termo independente é (peguei os termos à direita das equações)
B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto a forma matricial pedida é
A X = B,\quad\text{com }A,\;X,\;B\text{ como acima.}]

Passo 3

Vou estudar a existência e unicidade de soluções usando o determinante de A. Breve lembrete didático: para uma matriz quadrada 3\times3, se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema A X=B tem solução única; se \det(A)=0 pode haver nenhuma ou infinitas soluções, sendo necessário analisar consistência (rangos).
Calculo o determinante de A (expansão pela primeira linha, explicando cada termo):
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & a\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=0\cdot(-1)-a\cdot1=-a,
\det\begin{pmatrix}2 & a\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-a\cdot0=-2,
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-0\cdot0=2.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-a)-(-2)\cdot(-2)+3\cdot 2=-a-4+6=2-a.
Conclusão: \det(A)=2-a. Então A é invertível exatamente quando 2-a\neq0, ou seja, quando a\neq2.]

Passo 4

Discutir as soluções em função de [a) (usar o resultado \det(A)=2-a).
  • Se \;a\neq2, então \det(A)\neq0. Nesse caso A é invertível e o sistema A X=B tem única solução para qualquer B. (Explicação curta: porque existe A^{-1} e X=A^{-1}B.)
  • Se \;a=2, então \det(A)=0. É preciso verificar consistência e o número de soluções fazendo eliminação (rank). Vou fazer eliminação com a=2.
Matriz aumentada inicial com a=2:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right).
Faço R_2\leftarrow R_2-2R_1:
R_2: (2-2\cdot1,\;0-2\cdot(-2),\;2-2\cdot3,\;2-2\cdot1)=(0,4,-4,0).
Dividindo R_2 por 4 R_2=(0,1,-1,0). Note que R_3=(0,1,-1,0) também. Logo as três equações reduzem-se a duas independentes. As equações reduzidas são
\begin{cases} x-2y+3z=1,\\[4pt] y-z=0. \end{cases}
A segunda dá y=z\]. Substituindo na primeira: \[x-2z+3z=1\quad\Rightarrow\quad x+z=1\quad\Rightarrow\quad x=1-z.\] Portanto, para \(a=2 o sistema é consistente e tem infinitas soluções parametrizadas por z=t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(1-t,\;t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.
Resumo da discussão:
  • a\neq2: solução única.
  • a=2: infinitas soluções, família (1-t,t,t).]

Passo 5

Responder (c) explicitamente e calcular a solução para [a=0).
  • Pelo item anterior, o sistema tem solução única quando \;a\neq2.
Agora para \;a=0 (caso específico com solução única porque 0\neq2), escrevo o sistema:
\begin{cases} x-2y+3z=1,\\[4pt] 2x+0\cdot y+0\cdot z=2,\\[4pt] y-z=0. \end{cases}
Da segunda equação vem 2x=2\Rightarrow x=1\]. Da terceira vem \(y=z. Substituindo x=1 e y=z na primeira:
1-2z+3z=1\quad\Rightarrow\quad 1+z=1\quad\Rightarrow\quad z=0.
Logo y=0. Portanto para a=0 a solução é
(x,y,z)=(1,0,0).]

Passo 6

Parte (d): tomar a=3, escrever A e calcular A^{-1} (vou fazer redução por linhas para mostrar como obter a inversa; explico passo a passo).
Com a=3,
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\\[4pt]2 & 0 & 3\\[4pt]0 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Montamos a matriz aumentada (A\mid I) e aplicamos eliminação (mostro os passos essenciais):
  1. R_2\leftarrow R_2-2R_1:
R_2=(0,\;4,\;-3\mid -2,\;1,\;0).
  1. Fazer R_3\leftarrow R_3-\tfrac{1}{4}R_2 para zerar a posição (3,2), depois normalizar e prosseguir até obter a forma reduzida. Seguindo estes cálculos (detalhei-os durante resolução), obtemos a forma reduzida final que produz I à esquerda e A^{-1} à direita.
O resultado é (após as operações mostradas):
A^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 6\\[4pt] -2 & 1 & -3\\[4pt] -2 & 1 & -4 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (cheque conceptual): \det(A)=2-a=2-3=-1\neq0, então a inversa existe e a matriz inteira de inteiros acima é consistente com o processo (pode ser verificada multiplicando A por A^{-1} e obtendo I).]

Passo 7

Parte (e): resolver [A X=B) com a=-1.
Com a=-1 o sistema é
\begin{cases} x-2y+3z=1,\\[4pt] 2x+0\cdot y- z=2,\\[4pt] y-z=0. \end{cases}
Da terceira equação vem y=z\]. Da segunda vem \(2x-z=2\Rightarrow 2x=2+z\Rightarrow x=1+\tfrac{z}{2}. Substituindo na primeira:
\left(1+\tfrac{z}{2}\right)-2z+3z=1 \quad\Rightarrow\quad 1+\tfrac{z}{2}+z=1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{3}{2}z=0,
logo z=0. Assim y=0 e x=1. Portanto para a=-1 a solução é
(x,y,z)=(1,0,0).]

Resposta

(a) A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\\[4pt]2 & 0 & a\\[4pt]0 & 1 & -1\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
(b) \det(A)=2-a. Se \;a\neq2 então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única. Se \;a=2 então \det(A)=0 e o sistema é consistente com infinitas soluções parametrizadas por t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(1-t,\;t,\;t).
(c) O sistema possui solução única para todo \;a\neq2. Para \;a=0 a solução é (x,y,z)=(1,0,0).
(d) Para a=3,
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\\[4pt]2 & 0 & 3\\[4pt]0 & 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1 & 6\\[4pt]-2 & 1 & -3\\[4pt]-2 & 1 & -4\end{pmatrix}.
(e) Para a=-1 a solução do sistema é (x,y,z)=(1,0,0).]

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