Sejam A_{3 \times 2} e B_{2 \times 3} matrizes reais cujos termos são determinados pelas sentenças
a_{i j}=\begin{aligned} & -4 i+5 j, \text { se } i \geq j \\\ & j-1, \text { caso contrário } \end{aligned} \quad b_{i j}=\quad \begin{aligned} & i-2, \text { se } i<j \\\ & (i \cdot j), \text { caso contrário } \end{aligned}áá
Faça o que se pede:
(a) Escreva as matrizes A e B.
(b) É possível calcular A+B, A+5 B^{t}, A^{t}-B e 2 A^{t}-5 B^{t} ? Os que forem possíveis, obtenha-os. Os que não forem, justifique o motivo.
(c) Por que podemos calcular A B e B A ? Obtenha-os.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com as dimensões explícitas e as fórmulas dos elementos (peguei tudo do enunciado).
  • Matrizes: A\) é \(3\times2\) (índices \(i=1,2,3\); \(j=1,2\)) e \(B\) é \(2\times3\) (índices \(i=1,2\); \(j=1,2,3\)). - Elementos de \(A\): \[a_{ij}=\begin{cases} -4i+5j, & \text{se } i\ge j,\\[4pt] j-1, & \text{se } i<j. \end{cases}
  • Elementos de B\]: \[b_{ij}=\begin{cases} i-2, & \text{se } i<j,\\[4pt] i\cdot j, & \text{se } i\ge j. \end{cases}\] O enunciado pede: (a) escrever \(A e B;
    (b) dizer se é possível calcular A+B,\;A+5B^{t},\;A^{t}-B,\;2A^{t}-5B^{t} e, quando possível, calcular; quando não, justificar por que não;
    (c) justificar por que podemos calcular AB e BA e então calculá-los.]

Passo 2

Construção passo a passo de A. Explicando: para cada par (i,j) verifico se i\ge j. Se sim uso -4i+5j, caso contrário uso j-1. Vou calcular linha por linha.
  • Para i=1:
    • j=1: 1\ge1 então a_{11}=-4\cdot1+5\cdot1=-4+5=1.
    • j=2: 1<2 então a_{12}=2-1=1.
  • Para i=2:
    • j=1: 2\ge1 então a_{21}=-4\cdot2+5\cdot1=-8+5=-3.
    • j=2: 2\ge2 então a_{22}=-8+10=2.
  • Para i=3:
    • j=1: 3\ge1 então a_{31}=-4\cdot3+5\cdot1=-12+5=-7.
    • j=2: 3\ge2 então a_{32}=-12+10=-2.
Portanto, escrevendo a matriz:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -3 & 2\\[4pt] -7 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Construção passo a passo de B. Explicando: para cada (i,j) verifico se i<j. Se sim uso i-2, caso contrário uso i\cdot j.
  • Para i=1:
    • j=1: 1\not<1 então b_{11}=1\cdot1=1.
    • j=2: 1<2 então b_{12}=1-2=-1.
    • j=3: 1<3 então b_{13}=1-2=-1.
  • Para i=2:
    • j=1: 2\not<1 então b_{21}=2\cdot1=2.
    • j=2: 2\not<2 então b_{22}=2\cdot2=4.
    • j=3: 2<3 então b_{23}=2-2=0.
Portanto,
B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Análise de compatibilidade de soma e cálculo de A+5B^{t}.
Lembrete rápido (regra de soma): duas matrizes só podem ser somadas se tiverem exatamente as mesmas dimensões.
  • A é 3\times2 e B é 2\times3. Logo A+B não é possível porque as dimensões são diferentes ( 3\times2 não coincide com 2\times3). Justificativa: soma componente a componente exige mesma posição (i,j) em ambas.
Agora B^{t} (transposta de B): transpor troca linhas por colunas; B é 2\times3 então B^{t} é 3\times2. Calculo B^{t} pegando as colunas de B como linhas:
B^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] -1 & 4\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando por 5:
5B^{t}=\begin{pmatrix} 5 & 10\\[4pt] -5 & 20\\[4pt] -5 & 0 \end{pmatrix}.
Como A é 3\times2 e 5B^{t} também é 3\times2, podemos somar componente a componente. Faço A+5B^{t} elemento a elemento:
  • linha 1: (1,1)+(5,10)=(6,11),
  • linha 2: (-3,2)+(-5,20)=(-8,22),
  • linha 3: (-7,-2)+(-5,0)=(-12,-2).
Logo
A+5B^{t}=\begin{pmatrix} 6 & 11\\[4pt] -8 & 22\\[4pt] -12 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de A^{t}-B.
Primeiro A^{t}: como A é 3\times2, A^{t} é 2\times3. Transpondo linhas por colunas:
A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -7\\[4pt] 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
B é 2\times3, então A^{t} e B têm a mesma dimensão 2\times3 e a subtração é possível. Faço A^{t}-B componente a componente:
  • linha 1: (1,-3,-7)-(1,-1,-1)=(0,-2,-6).
  • linha 2: (1,2,-2)-(2,4,0)=(-1,-2,-2).
Assim
A^{t}-B=\begin{pmatrix} 0 & -2 & -6\\[4pt] -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Análise de 2A^{t}-5B^{t}.
  • A^{t} é 2\times3, então 2A^{t} também é 2\times3.
  • B^{t} é 3\times2, então 5B^{t} é 3\times2.
Subtrair duas matrizes exige mesmas dimensões; aqui 2\times3\neq3\times2. Portanto 2A^{t}-5B^{t} não é possível — motivo: incompatibilidade de dimensões.

Passo 7

Por que podemos calcular AB e BA? Regra de multiplicação: produto X Y é possível quando o número de colunas de X é igual ao número de linhas de Y; a matriz resultante terá dimensões (linhas de X) \times (colunas de Y).
  • A é 3\times2 e B é 2\times3. Como 2 (colunas de A) = 2 (linhas de B), AB é possível e terá dimensão 3\times3.
  • B é 2\times3 e A é 3\times2. Como 3 (colunas de B) = 3 (linhas de A), BA é possível e terá dimensão 2\times2.
Explicando a fórmula: (XY)_{ik}=\sum_{j} x_{ij}y_{jk}. Vou aplicar isto calculando cada entrada explicitamente.

Passo 8

Cálculo de AB (produto 3\times2 por 2\times3 resulta 3\times3). Lembrete prático: cada elemento (AB)_{ik} é produto escalar da linha i de A com a coluna k de B.
As colunas de B são:
\text{col}_1(B)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(B)=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(B)=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Linhas de A:
\text{row}_1(A)=(1,1),\quad \text{row}_2(A)=(-3,2),\quad \text{row}_3(A)=(-7,-2).
Calculos:
  • Linha 1:
    • (AB)_{11}=1\cdot1 + 1\cdot2 = 3.
    • (AB)_{12}=1\cdot(-1) + 1\cdot4 = 3.
    • (AB)_{13}=1\cdot(-1) + 1\cdot0 = -1.
  • Linha 2:
    • (AB)_{21}=-3\cdot1 + 2\cdot2 = -3 + 4 = 1.
    • (AB)_{22}=-3\cdot(-1) + 2\cdot4 = 3 + 8 = 11.
    • (AB)_{23}=-3\cdot(-1) + 2\cdot0 = 3 + 0 = 3.
  • Linha 3:
    • (AB)_{31}=-7\cdot1 + (-2)\cdot2 = -7 -4 = -11.
    • (AB)_{32}=-7\cdot(-1) + (-2)\cdot4 = 7 -8 = -1.
    • (AB)_{33}=-7\cdot(-1) + (-2)\cdot0 = 7 + 0 = 7.
Portanto
AB=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 11 & 3\\[4pt] -11 & -1 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Cálculo de BA (produto 2\times3 por 3\times2 resulta 2\times2). Cada elemento (BA)_{ik} é produto escalar da linha i de B com a coluna k de A.
As colunas de A são:
\text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-3\\[2pt]-7\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
Linhas de B:
\text{row}_1(B)=(1,-1,-1),\quad \text{row}_2(B)=(2,4,0).
Calculos:
  • Linha 1:
    • (BA)_{11}=1\cdot1 + (-1)\cdot(-3) + (-1)\cdot(-7) = 1 + 3 + 7 = 11.
    • (BA)_{12}=1\cdot1 + (-1)\cdot2 + (-1)\cdot(-2) = 1 -2 +2 = 1.
  • Linha 2:
    • (BA)_{21}=2\cdot1 + 4\cdot(-3) + 0\cdot(-7) = 2 -12 + 0 = -10.
    • (BA)_{22}=2\cdot1 + 4\cdot2 + 0\cdot(-2) = 2 + 8 + 0 = 10.
Portanto
BA=\begin{pmatrix} 11 & 1\\[4pt] -10 & 10 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -3 & 2\\[4pt] -7 & -2 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
(b) A+B: não é possível (dimensões diferentes: 3\times2 vs 2\times3).\
A+5B^{t}=\displaystyle\begin{pmatrix}6 & 11\\[4pt]-8 & 22\\[4pt]-12 & -2\end{pmatrix}.\
A^{t}-B=\displaystyle\begin{pmatrix}0 & -2 & -6\\[4pt]-1 & -2 & -2\end{pmatrix}.\
2A^{t}-5B^{t}: não é possível (dimensões diferentes: 2\times3 vs 3\times2).
(c) Podemos calcular AB e BA porque as dimensões internas coincidem ( A é 3\times2, B é 2\times3, logo AB é 3\times3; e BA é 2\times2).\
AB=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 11 & 3\\[4pt] -11 & -1 & 7 \end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix} 11 & 1\\[4pt] -10 & 10 \end{pmatrix}.]

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