Sejam A_{3 \times 2} e B_{2 \times 3} matrizes reais cujos termos são determinados pelas sentenças
a_{i j}=\begin{aligned} & -4 i+5 j, \text { se } i \geq j \\\ & j-1, \text { caso contrário } \end{aligned} \quad b_{i j}=\quad \begin{aligned} & i-2, \text { se } i<j \\\ & (i \cdot j), \text { caso contrário } \end{aligned}
Faça o que se pede:
(a) Escreva as matrizes A e B.
(b) É possível calcular A+B, A+5 B^{t}, A^{t}-B e 2 A^{t}-5 B^{t} ? Os que forem possíveis, obtenha-os. Os que não forem, justifique o motivo.
(c) Por que podemos calcular A B e B A ? Obtenha-os.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com as dimensões explícitas e as fórmulas dos elementos (peguei tudo do enunciado).
Matrizes: A\) é \(3\times2\) (índices \(i=1,2,3\); \(j=1,2\)) e \(B\) é \(2\times3\) (índices \(i=1,2\); \(j=1,2,3\)).
- Elementos de \(A\):
\[a_{ij}=\begin{cases} -4i+5j, & \text{se } i\ge j,\\[4pt] j-1, & \text{se } i<j. \end{cases}
Elementos de B\]:
\[b_{ij}=\begin{cases} i-2, & \text{se } i<j,\\[4pt] i\cdot j, & \text{se } i\ge j. \end{cases}\]
O enunciado pede:
(a) escrever \(A e B;
(b) dizer se é possível calcular A+B,\;A+5B^{t},\;A^{t}-B,\;2A^{t}-5B^{t} e, quando possível, calcular; quando não, justificar por que não;
(c) justificar por que podemos calcular AB e BA e então calculá-los.]
Passo 2
Construção passo a passo de A. Explicando: para cada par (i,j) verifico se i\ge j. Se sim uso -4i+5j, caso contrário uso j-1. Vou calcular linha por linha.
Para i=1:
j=1: 1\ge1 então a_{11}=-4\cdot1+5\cdot1=-4+5=1.
j=2: 1<2 então a_{12}=2-1=1.
Para i=2:
j=1: 2\ge1 então a_{21}=-4\cdot2+5\cdot1=-8+5=-3.
j=2: 2\ge2 então a_{22}=-8+10=2.
Para i=3:
j=1: 3\ge1 então a_{31}=-4\cdot3+5\cdot1=-12+5=-7.
Análise de compatibilidade de soma e cálculo de A+5B^{t}.
Lembrete rápido (regra de soma): duas matrizes só podem ser somadas se tiverem exatamente as mesmas dimensões.
A é 3\times2 e B é 2\times3. Logo A+B não é possível porque as dimensões são diferentes (3\times2 não coincide com 2\times3). Justificativa: soma componente a componente exige mesma posição (i,j) em ambas.
Agora B^{t} (transposta de B): transpor troca linhas por colunas; B é 2\times3 então B^{t} é 3\times2. Calculo B^{t} pegando as colunas de B como linhas:
Subtrair duas matrizes exige mesmas dimensões; aqui 2\times3\neq3\times2. Portanto 2A^{t}-5B^{t} não é possível — motivo: incompatibilidade de dimensões.
Passo 7
Por que podemos calcular AB e BA? Regra de multiplicação: produto X Y é possível quando o número de colunas de X é igual ao número de linhas de Y; a matriz resultante terá dimensões (linhas de X) \times (colunas de Y).
A é 3\times2 e B é 2\times3. Como 2 (colunas de A) = 2 (linhas de B), AB é possível e terá dimensão 3\times3.
B é 2\times3 e A é 3\times2. Como 3 (colunas de B) = 3 (linhas de A), BA é possível e terá dimensão 2\times2.
Explicando a fórmula: (XY)_{ik}=\sum_{j} x_{ij}y_{jk}. Vou aplicar isto calculando cada entrada explicitamente.
Passo 8
Cálculo de AB (produto 3\times2 por 2\times3 resulta 3\times3). Lembrete prático: cada elemento (AB)_{ik} é produto escalar da linha i de A com a coluna k de B.