Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & (alpha-1) alpha & alpha & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & alpha-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma escalonada da matriz aumentada de um sistema linear com quatro variáveis (x1,x2,x3,x4). O objetivo é estudar, em função do parâmetro alpha, quando há solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, usando análise de pivôs (não nulos) e back-substitution.

Passo 2

Identificamos os coeficientes de pivô nas linhas não nulas:\r
&linha 1: pivô em x1 com coeficiente 1neq0forallalpha, &linha 2: pivô em x2 com coeficiente (alpha-1),alpha, &linha 3: pivô em x3 com coeficiente alpha(alpha^2-1)=alpha(alpha-1)(alpha+1), &linha 4: pivô em x4 com coeficiente (alpha+1),alpha ôôôô\r
Os valores críticos que anulam pivôs são alpha=0,1,-1. Para cada caso, analisamos consistência e número de soluções.

Passo 3

Caso genérico alphaneq -1,0,1: todos os pivôs são não nulos, o sistema tem posto 4 igual ao número de incógnitas, logo solução única. Fazendo back-substitution:\r
(alpha+1),alpha,x4=0implies x4=0,
alpha(alpha^2-1),x3=alpha-1implies x3=alpha-1alpha(alpha^2-1) =1alpha(alpha+1),
(alpha-1),alpha,x2+alpha,x3=alpha+1implies x2=alpha+1-alpha,x3alpha(alpha-1) =alpha+2(alpha+1)(alpha-1),
x1=1-x2-x4 =(alpha+1)(alpha-1)-(alpha+2)(alpha+1)(alpha-1) =alpha^2-alpha-3(alpha+1)(alpha-1)

Passo 4

Caso alpha=0: as linhas 2, 3 e 4 passam a ter coeficientes zero nos pivôs, mas a linha 2 dá 0=0+1, isto é,
0=1,
inconsistente. Portanto, não há solução.

Passo 5

Caso alpha=1: os pivôs em x2 e x3 se anulam, mas sobra o pivô em x4. As equações relevantes ficam
x1+x2+x4=1, x3=2, 2,x4=0implies x4=0,
e 0=0 na terceira linha. Dessa forma x3=2 e x4=0, enquanto x1+x2=1 deixa uma liberdade de parâmetro t=x2. Logo infinitas soluções:
(x1,x2,x3,x4)mid x1=1-t,;x2=t,;x3=2,;x4=0,;tinR

Passo 6

Caso alpha=-1: o pivô em x3 e em x4 se anulam, mas da linha 3 surge
0=alpha-1=-2,
o que é inconsistente. Logo, não há solução.

Resposta

Para alphaneq -1,0,1 o sistema tem solução única
x1=alpha^2-alpha-3(alpha+1)(alpha-1), x2=alpha+2(alpha+1)(alpha-1), x3=1alpha(alpha+1), x4=0
Para alpha=1 há infinitas soluções dadas por
(1-t,;t,;2,;0)mid tinR
Para alpha=0 ou alpha=-1 o sistema é inconsistente e não tem solução.

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