Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma escalonada da matriz aumentada de um sistema linear com quatro variáveis (x1,x2,x3,x4). O objetivo é estudar, em função do parâmetro alpha, quando há solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, usando análise de pivôs (não nulos) e back-substitution.
Passo 2
Identificamos os coeficientes de pivô nas linhas não nulas:\r
&linha 1: pivô em x1 com coeficiente 1neq0forallalpha, &linha 2: pivô em x2 com coeficiente (alpha-1),alpha, &linha 3: pivô em x3 com coeficiente alpha(alpha^2-1)=alpha(alpha-1)(alpha+1), &linha 4: pivô em x4 com coeficiente (alpha+1),alpha ôôôô\r
Os valores críticos que anulam pivôs são alpha=0,1,-1. Para cada caso, analisamos consistência e número de soluções.
Passo 3
Caso genérico alphaneq -1,0,1: todos os pivôs são não nulos, o sistema tem posto 4 igual ao número de incógnitas, logo solução única. Fazendo back-substitution:\r