Exercício 2. Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3), pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por a A e tem direção de v.
b) Encontrar os dois ponto B e C de r de parâmetros t=1 e t=4, respectivamente.
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4 .
d) Verificar se os pontos D(4,-1,2) e E(5,-4,3) pertencem a r.
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r.
f) Escrever equações paramétrica da reta s que passa por G(5,2,-4) e é paralela a r.
g) Escrever equações paramétrica da reta q que passa por A e é paralela ao eixo dos y.

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto A(2,3,-4) e o vetor diretor vec v=(1,-2,3). O conteúdo é reta no espaço em forma paramétrica. Vamos:
  • (a) escrever as equações paramétricas de r;
  • (b) calcular os pontos em t=1 e t=4;
  • (c) achar o ponto de r com abscissa 4;
  • (d) verificar se D e E pertencem a r;
  • (e) achar m,n para F(m,5,n)in r;
  • (f) escrever a reta s em G paralela a r;
  • (g) escrever a reta q em A paralela ao eixo y.

Passo 2

Para (a), usamos a forma
r:; (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t,(vx,vy,vz)
Com A(2,3,-4) e vec v=(1,-2,3), temos
x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = -4 + 3t

Passo 3

Para (b), basta pôr t=1 e t=4:
B = r(1) = (2+1,;3-2,;-4+3) = (3,1,-1),
C = r(4) = (2+4,;3-8,;-4+12) = (6,-5,8)

Passo 4

Para (c), impomos a abscissa x=4:
2 + t = 4 implies t = 2
Logo o ponto é
r(2) = (4,;3-4,;-4+6) = (4,-1,2)

Passo 5

Para (d), verificamos D(4,-1,2) e E(5,-4,3):
– Em D, se t=2 então r(2)=(4,-1,2), bate com D. Logo Din r.
– Em E, para x=5 precisamos de t=3, mas aí y=3-2cdot3=-3neq -4. Então Enotin r.

Passo 6

Para (e), queremos F(m,5,n)in r. Igualamos y=5:
3 - 2t = 5 implies t = -1
Então
m = x = 2 + (-1) = 1, n = z = -4 + 3(-1) = -7

Passo 7

Para (f), a reta s passa por G(5,2,-4) e é paralela a r, logo usa o mesmo vetor diretor:
s: x = 5 + t, y = 2 - 2t, z = -4 + 3t

Passo 8

Para (g), a reta q passa por A(2,3,-4) e é paralela ao eixo y, cujo vetor diretor é (0,1,0). Assim:
q: x = 2, y = 3 + t, z = -4

Resposta

(a) x=2+t,;y=3-2t,;z=-4+3t.
(b) B=(3,1,-1), C=(6,-5,8).
(c) (4,-1,2).
(d) Din r, Enotin r.
(e) m=1,;n=-7.
(f) x=5+t,;y=2-2t,;z=-4+3t.
(g) x=2,;y=3+t,;z=-4.

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