Considere o sistema linear de tempo contínuo
dotx(t)=A x(t),
onde x in R^n. Apresente as condições LMI que garantem a estabilidade do sistema usando a função de Lyapunov
v(x)=[c x dotx ]^prime[ll P1 & P2 P2^prime & P3 ][l x dotx ],
onde P1, P2, P3 in R^n times n.

Passo 1

O enunciado dá o sistema contínuo
dotx(t) = A cdot x(t)
e propõe como candidata de Lyapunov
v(x) = x dotx ^!T underbrace P1 & P2 [2pt] P2^T & P3 P x dotx ,
com P1, P2, P3 in R^n times n. Para estabilidade devemos garantir
1) v(x) > 0 para todo x neq 0, e
2) dotv(x) < 0 para todo x neq 0.

Passo 2

A positividade de v exige que a matriz de quadrática seja definida positiva:
P = P1 & P2 [2pt] P2^T & P3 succ 0

Passo 3

Defina
z=xdot x, então dot z =dot xddot x =0&I0&Az equiv S,z ã
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dot v =z^Tl(P,S+S^T,Pr),z,
e para dot v<0 precisamos de
P,S+S^T,Pprec0

Passo 4

Escrevendo a LMI de dotv < 0 em blocos, com
P = P1 & P2 P2^T & P3 , S = 0 & I 0 & A ,
obtém-se
P cdot S + S^T cdot P = 0 & P1 + P2 A [3pt] (P1 + P2 A)^T & P2 + P2^T + A^T P3 + P3 A prec 0

Resposta

O sistema é assintoticamente estável se existem matrizes P1, P2, P3 tais que
P1 & P2 [2pt] P2^T & P3 succ 0, 0 & P1 + P2 A [3pt] (P1 + P2 A)^T & P2 + P2^T + A^T P3 + P3 A prec 0

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