Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações elementares sobre as linhas à dada forma escalonada por linhas. Resolva o sistema por retrossubstituição supondo que as variáveis sejam x1, x2, ldots, xn, da esquerda para a direita.
[rrrrrr1 & 7 & -2 & 0 & -8 & -3 0 & 0 & 1 & 1 & 6 & 5 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 9 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado mostra a matriz aumentada já em forma escalonada por linhas para um sistema com cinco variáveis ,x1,x2,x3,x4,x5. O objetivo é usar retrossubstituição para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos as três equações não nulas correspondentes às três primeiras linhas:
x1 + 7x2 - 2x3 ;-;8x5 = -3, x3 + x4 + 6x5 = 5, x4 + 3x5 = 9
A quarta linha é 0=0 e não dá informação adicional.

Passo 3

Identificamos as variáveis básicas (que aparecem com pivô): x1,x3,x4. As variáveis livres são x2 e x5. Atribuímos parâmetros:
x2 = s, x5 = t, s,tinR

Passo 4

Da terceira equação, temos
x4 + 3x5 = 9 Longrightarrow x4 = 9 ;-; 3t

Passo 5

Da segunda equação, substituindo x4:
x3 + (9 - 3t) + 6t = 5 Longrightarrow x3 = 5 - 9 - 3t = -4 - 3t

Passo 6

Da primeira equação, substituindo x2=s, x3=-4-3t e x5=t:
x1 + 7s -2(-4-3t) -8t = -3 Longrightarrow x1 + 7s +8 +6t -8t = -3 Longrightarrow x1 = -3 -8 -7s +2t = -11 -7s +2t

Resposta

A solução geral do sistema é
x1 = -11 ;-; 7s ;+; 2t, x2 = s, x3 = -4 ;-; 3t, x4 = 9 ;-; 3t, x5 = t, s,tinR

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