Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações elementares sobre as linhas à dada forma escalonada por linhas. Resolva o sistema por retrossubstituição supondo que as variáveis sejam x1, x2, ldots, xn, da esquerda para a direita.
[rrrrr1 & 0 & 5 & 3 & 2 0 & 1 & -2 & 4 & -7 0 & 0 & 1 & 1 & 3]

Passo 1

A forma escalonada por linhas dada é a matriz aumentada de um sistema com quatro incógnitas x1,x2,x3,x4 e termos independentes na última coluna:
1 & 0 & 5 & 3 & 2 0 & 1 & -2 & 4 & -7 0 & 0 & 1 & 1 & 3
Isso corresponde ao sistema
x1 + 5x3 + 3x4 = 2, x2 - 2x3 + 4x4 = -7, x3 + x4 = 3
O método de retrossubstituição resolve primeiro a última equação, depois a anterior, e assim por diante.

Passo 2

Da terceira equação vemos que há pivô em x3, mas não em x4. Logo x4 é variável livre. Defina
x4 = t, tinR

Passo 3

Substituindo x4=t em x3+x4=3, temos
x3 + t = 3 Longrightarrow x3 = 3 - t

Passo 4

Agora use a segunda equação x2 - 2x3 + 4x4 = -7. Substituindo x3=3-t e x4=t,
x2 - 2(3 - t) + 4t = -7 Longrightarrow x2 = -7 + 2(3 - t) - 4t = -7 + 6 - 2t - 4t = -1 - 6t

Passo 5

Por fim, use a primeira equação x1 + 5x3 + 3x4 = 2. Substituindo x3=3 - t e x4=t,
x1 + 5(3 - t) + 3t = 2 Longrightarrow x1 = 2 - 15 + 5t - 3t = -13 + 2t

Resposta

A solução geral do sistema é
boxed (x1,x2,x3,x4) = (-13 + 2t,,-1 - 6t,;3 - t,;t), tinR

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