Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações elementares sobre as linhas à dada forma escalonada por linhas. Resolva o sistema por retrossubstituição supondo que as variáveis sejam x1, x2, ldots, xn, da esquerda para a direita.
[rrrrr1 & 1 & -3 & 2 & 1 0 & 1 & 4 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz aumentada, já em forma escalonada por linhas, de um sistema com quatro incógnitas x1, x2, x3, x4:
[rrrr|r 1 & 1 & -3 & 2 & 1 0 & 1 & 4 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 2 ] .
Para resolver, vamos traduzir cada linha numa equação e aplicar back-substitution.

Passo 2

Escrevendo as equações correspondentes às linhas:
x1+x2-3x3+2x4=1
x2+4x3=3
x4=2

Passo 3

Observamos que as colunas com pivô são a 1, a 2 e a 4, enquanto a coluna 3 não tem pivô. Logo, x3 é variável livre. Definimos
x3=t, tinR

Passo 4

Da terceira equação, já temos
x4=2

Passo 5

Substituindo em x2+4x3=3, obtemos
x2=3-4x3=3-4t

Passo 6

Finalmente, na primeira equação
x1+x2-3x3+2x4=1,
substituímos x2=3-4t, x3=t e x4=2. Isso dá
x1 + (3-4t) -3t +2cdot2 =1
x1 +3 -4t -3t +4 =1
x1 =1 -3 -4 +7t = -6 +7t

Resposta

A solução geral do sistema é
(x1,x2,x3,x4) = (-6+7t,;3-4t,;t,;2), tinR

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