Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z dado por:
\left\{\begin{array}{c} x-2 y-4 z=2 \\\ a x+2 y-a z=0 \\\ x+2 a y-10 z=b \end{array}\right.
Determine para quais valores de a e b o sistema de equações dado satisfaz as seguintes condições:
(a) (1,0 ponto) Encontre uma forma escalonada do sistema que permita analisar os casos descritos abaixo.
(b) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Verifique as condições para que o sistema tenha solução única.
(c) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Determine os valores de a e b para os quais o sistema possui infinitas soluções.
(d) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Estabeleça os valores de a e b para os quais o sistema não possui solução.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
O sistema é, nas incógnitas x,y,z:
\left\{\begin{array}{r} x-2y-4z=2\\[4pt] a x+2y-a z=0\\[4pt] x+2a y-10z=b \end{array}\right.
Perguntas:
(a) Encontrar uma forma escalonada do sistema que permita analisar os casos abaixo.
(b) Determinar para quais valores de a e b o sistema tem solução única.
(c) Determinar para quais valores de a e b o sistema tem infinitas soluções.
(d) Determinar para quais valores de a e b o sistema não possui solução.
Informações relevantes: há o parâmetro a presente nos coeficientes e o parâmetro b no termo independente; as respostas dependem da posição desses parâmetros que podem anular pivôs durante a eliminação.]
Passo 2
Montar a matriz aumentada e começar a eliminação por Gauss (explicando cada operação).
A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] a & 2 & -a & 0\\[4pt] 1 & 2a & -10 & b \end{array}\right].
Usa-se a primeira linha como pivô (entrada 1 na coluna de x). Para zerar as entradas abaixo do primeiro pivô, fazemos:
R_2 \leftarrow R_2 - a R_1 (subtrair a vezes a linha 1 da linha 2),
R_3 \leftarrow R_3 - R_1 (subtrair a linha 1 da linha 3).
Vamos calcular cada nova linha explicitamente (mostrando contas):
Interpretação dos pivôs, determinante e condição de solução única.
Da forma escalonada, os pivôs (elementos da diagonal superior) são:p_1=1,\qquad p_2=2(1+a),\qquad p_3=-6-3a=-3(2+a).
Se todos os pivôs forem não nulos, a matriz de coeficientes tem posto 3 e o sistema tem exatamente uma solução. O determinante da matriz de coeficientes, sem operações que troquem linhas (apenas subtrações de múltiplos de linhas), é o produto dos pivôs:\det(A)=1\cdot 2(1+a)\cdot\bigl(-3(2+a)\bigr) = -6(1+a)(2+a).
Portanto a condição para ter solução única é\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (1+a)(2+a)\neq 0,ou sejaa\neq -1\quad\text{e}\quad a\neq -2.Para qualquer b nesses valores de a o sistema tem solução única (pois b só aparece na coluna aumentada e não afetará a invertibilidade da matriz).
Passo 4
Análise quando [\det(A)=0), isto é a=-1 ou a=-2. Nessas situações precisamos verificar consistência (posto da matriz de coeficientes vs posto da matriz aumentada).
Para que o sistema seja consistente, essas duas equações devem ser compatíveis, isto é, 2 = b-4. Portanto é necessária e suficiente queb-4 = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad b=6.
Se b\neq 6, então -3z=2 e -3z=b-4 são contraditórias (2\neq b-4), logo o sistema não tem solução.
Se b=6, as duas linhas são a mesma equação -3z=2. O posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas independentes), o posto da matriz aumentada também é 2, e como o número de incógnitas é 3 o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade =3-2=1). Podemos escrever a solução parametricamente quando a=-1,\,b=6:-3z=2\Rightarrow z=-\tfrac{2}{3}.Usando a primeira linha x-2y-4z=2:x-2y-4\left(-\tfrac{2}{3}\right)=2 \Rightarrow x-2y+\tfrac{8}{3}=2 \Rightarrow x-2y = -\tfrac{2}{3} \Rightarrow x = 2y-\tfrac{2}{3}.Logo a família de soluções está dada por\boxed{(x,y,z)=\bigl(2t-\tfrac{2}{3},\; t,\; -\tfrac{2}{3}\bigr),\; t\in\mathbb{R}.}
porque 2(1+a)=2(-1)=-2,\;3a=-6,\;-6-3a= -6+6=0,\;b+2a-2=b-6.
A terceira linha é 0= b-6.
Se b\neq 6, a terceira linha diz 0 = \text{(não zero)}ã, o que é impossível: o sistema é inconsistente e não tem solução.
Se b=6, a terceira linha é 0=0 e não dá restrição adicional. O posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas independentes), o posto da matriz aumentada também é 2, logo há infinitas soluções (grau de liberdade =1). Podemos descrever a solução quando a=-2,\,b=6.
Para a=-2,\,b=6, das primeiras duas linhas (por exemplo da forma escalonada) temos:
\begin{cases} x-2y-4z=2,\\[4pt] -2y-6z=4 \quad\text{(segunda linha dividida por 1)}. \end{cases}
Da segunda equação isolamos y\]:
\[-2y = 4+6z \Rightarrow y = -2 -3z.\]
Substituindo em \(x-2y-4z=2:
x -2(-2-3z)-4z =2 \Rightarrow x +4 +6z -4z=2 \Rightarrow x +4 +2z =2 \Rightarrow x = -2 -2z.