Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z dado por:
\left\{\begin{array}{c} x-2 y-4 z=2 \\\ a x+2 y-a z=0 \\\ x+2 a y-10 z=b \end{array}\right.
Determine para quais valores de a e b o sistema de equações dado satisfaz as seguintes condições:
(a) (1,0 ponto) Encontre uma forma escalonada do sistema que permita analisar os casos descritos abaixo.
(b) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Verifique as condições para que o sistema tenha solução única.
(c) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Determine os valores de a e b para os quais o sistema possui infinitas soluções.
(d) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Estabeleça os valores de a e b para os quais o sistema não possui solução.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O sistema é, nas incógnitas x,y,z:
\left\{\begin{array}{r} x-2y-4z=2\\[4pt] a x+2y-a z=0\\[4pt] x+2a y-10z=b \end{array}\right.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar uma forma escalonada do sistema que permita analisar os casos abaixo.
    (b) Determinar para quais valores de a e b o sistema tem solução única.
    (c) Determinar para quais valores de a e b o sistema tem infinitas soluções.
    (d) Determinar para quais valores de a e b o sistema não possui solução.
  • Informações relevantes: há o parâmetro a presente nos coeficientes e o parâmetro b no termo independente; as respostas dependem da posição desses parâmetros que podem anular pivôs durante a eliminação.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada e começar a eliminação por Gauss (explicando cada operação).
A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] a & 2 & -a & 0\\[4pt] 1 & 2a & -10 & b \end{array}\right].
Usa-se a primeira linha como pivô (entrada 1 na coluna de x). Para zerar as entradas abaixo do primeiro pivô, fazemos:
  • R_2 \leftarrow R_2 - a R_1 (subtrair a vezes a linha 1 da linha 2),
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1 (subtrair a linha 1 da linha 3).
Vamos calcular cada nova linha explicitamente (mostrando contas):
Para R_2:
\begin{array}{l} \text{coluna }x: \; a - a\cdot 1 = 0,\\[4pt] \text{coluna }y: \; 2 - a(-2) = 2 + 2a,\\[4pt] \text{coluna }z: \; -a - a(-4) = -a + 4a = 3a,\\[4pt] \text{termo independente: } 0 - a\cdot 2 = -2a. \end{array}
Para R_3:
\begin{array}{l} \text{coluna }x: \; 1 - 1 = 0,\\[4pt] \text{coluna }y: \; 2a - (-2) = 2a + 2,\\[4pt] \text{coluna }z: \; -10 - (-4) = -6,\\[4pt] \text{termo independente: } b - 2. \end{array}
Após essas operações a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 2+2a & 3a & -2a\\[4pt] 0 & 2a+2 & -6 & b-2 \end{array}\right].
Note: 2+2a = 2(1+a) e 2a+2 = 2(a+1), ou seja, as entradas (2,2) e (3,2) são iguais: isso facilita a próxima eliminação.
Agora zeramos a entrada (3,2) usando R_2: R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Fazendo as subtrações coordenada a coordenada:
\begin{array}{l} \text{coluna }x: \; 0-0=0,\\[4pt] \text{coluna }y: \; (2a+2)-(2+2a)=0,\\[4pt] \text{coluna }z: \; -6 - 3a = -6-3a,\\[4pt] \text{termo independente: } (b-2)-(-2a)= b-2+2a = b+2a-2. \end{array}
Portanto obtemos a forma escalonada (triangular) final:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 2(1+a) & 3a & -2a\\[6pt] 0 & 0 & -6-3a & b+2a-2 \end{array}\right].]

Passo 3

Interpretação dos pivôs, determinante e condição de solução única.
  • Da forma escalonada, os pivôs (elementos da diagonal superior) são: p_1=1,\qquad p_2=2(1+a),\qquad p_3=-6-3a=-3(2+a).
  • Se todos os pivôs forem não nulos, a matriz de coeficientes tem posto 3 e o sistema tem exatamente uma solução. O determinante da matriz de coeficientes, sem operações que troquem linhas (apenas subtrações de múltiplos de linhas), é o produto dos pivôs: \det(A)=1\cdot 2(1+a)\cdot\bigl(-3(2+a)\bigr) = -6(1+a)(2+a).
  • Portanto a condição para ter solução única é \det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (1+a)(2+a)\neq 0,ou seja a\neq -1\quad\text{e}\quad a\neq -2.Para qualquer b nesses valores de a o sistema tem solução única (pois b só aparece na coluna aumentada e não afetará a invertibilidade da matriz).

Passo 4

Análise quando [\det(A)=0), isto é a=-1 ou a=-2. Nessas situações precisamos verificar consistência (posto da matriz de coeficientes vs posto da matriz aumentada).
Caso 1: a=-1.
Substituindo a=-1 na forma escalonada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -3 & b-4 \end{array}\right],
porque 2(1+a)=0,\;3a=-3,\;b+2a-2=b-4.
As duas últimas linhas correspondem às equações:
-3z=2\quad\text{e}\quad -3z = b-4.
  • Para que o sistema seja consistente, essas duas equações devem ser compatíveis, isto é, 2 = b-4. Portanto é necessária e suficiente que b-4 = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad b=6.
  • Se b\neq 6, então -3z=2 e -3z=b-4 são contraditórias (2\neq b-4), logo o sistema não tem solução.
  • Se b=6, as duas linhas são a mesma equação -3z=2. O posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas independentes), o posto da matriz aumentada também é 2, e como o número de incógnitas é 3 o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade =3-2=1). Podemos escrever a solução parametricamente quando a=-1,\,b=6: -3z=2\Rightarrow z=-\tfrac{2}{3}.Usando a primeira linha x-2y-4z=2: x-2y-4\left(-\tfrac{2}{3}\right)=2 \Rightarrow x-2y+\tfrac{8}{3}=2 \Rightarrow x-2y = -\tfrac{2}{3} \Rightarrow x = 2y-\tfrac{2}{3}.Logo a família de soluções está dada por \boxed{(x,y,z)=\bigl(2t-\tfrac{2}{3},\; t,\; -\tfrac{2}{3}\bigr),\; t\in\mathbb{R}.}
Caso 2: a=-2.
Substituindo a=-2 na forma escalonada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] 0 & -2 & -6 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & b-6 \end{array}\right],
porque 2(1+a)=2(-1)=-2,\;3a=-6,\;-6-3a= -6+6=0,\;b+2a-2=b-6.
A terceira linha é 0= b-6.
  • Se b\neq 6, a terceira linha diz 0 = \text{(não zero)}ã, o que é impossível: o sistema é inconsistente e não tem solução.
  • Se b=6, a terceira linha é 0=0 e não dá restrição adicional. O posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas independentes), o posto da matriz aumentada também é 2, logo há infinitas soluções (grau de liberdade =1). Podemos descrever a solução quando a=-2,\,b=6.
Para a=-2,\,b=6, das primeiras duas linhas (por exemplo da forma escalonada) temos:
\begin{cases} x-2y-4z=2,\\[4pt] -2y-6z=4 \quad\text{(segunda linha dividida por 1)}. \end{cases}
Da segunda equação isolamos y\]: \[-2y = 4+6z \Rightarrow y = -2 -3z.\] Substituindo em \(x-2y-4z=2:
x -2(-2-3z)-4z =2 \Rightarrow x +4 +6z -4z=2 \Rightarrow x +4 +2z =2 \Rightarrow x = -2 -2z.
Tomando parâmetro t=z, a família de soluções é
\boxed{(x,y,z)=\bigl(-2-2t,\; -2-3t,\; t\bigr),\; t\in\mathbb{R}.}]

Passo 5

Resumo das conclusões (sintetizando os casos analisados):
  • Se a\neq -1 e a\neq -2, então \det(A)\neq 0 e o sistema tem solução única para qualquer b.
  • Se a=-1, então:
    • se b=6 o sistema tem infinitas soluções (uma liberdade), descritas acima;
    • se b\neq 6 o sistema não tem solução (inconsistente).
  • Se a=-2, então:
    • se b=6 o sistema tem infinitas soluções (uma liberdade), descritas acima;
    • se b\neq 6 o sistema não tem solução.

Resposta

(a) Uma forma escalonada obtida por eliminação é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 2(1+a) & 3a & -2a\\[6pt] 0 & 0 & -6-3a & b+2a-2 \end{array}\right].
(b) O sistema tem solução única se, e somente se,
a\neq -1\quad\text{e}\quad a\neq -2.
(c) O sistema tem infinitas soluções exatamente para
(a,b)=(-1,6)\quad\text{ou}\quad (a,b)=(-2,6).
(d) O sistema não possui solução (é inconsistente) exatamente quando
a=-1\\ \text{e}\\ b\neq 6,\quad\text{ou}\quad a=-2\\ \text{e}\\ b\neq 6.]

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