(a) (1.0 ponto) Escreva a definição de matriz escalonada por linhas.
(b) ( \mathbf{1 . 0} ponto) Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão na forma escalonada por linhas? Caso alguma não esteja, indique quais propriedades da definição não são satisfeitas.
(a) Escrever a definição de matriz escalonada por linhas.
(b) Dado três matrizes 3\times3, decidir quais estão na forma escalonada por linhas e, quando não estiverem, indicar quais propriedades da definição não são satisfeitas.
Esses são os dados que vou usar. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definição clara e prática de “matriz escalonada por linhas” (forma de escada, row-echelon form). Vou escrever a definição em partes numeradas para facilitar a verificação na prova.
Uma matriz está em forma escalonada por linhas se, e somente se, satisfaz as três propriedades seguintes:
Todas as linhas nulas (linhas com todos os elementos iguais a zero) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas.
Em cada linha não nula existe um primeiro elemento não nulo, chamado de elemento de destaque (ou pivot), e o pivot de cada linha está estritamente à direita do pivot da linha imediatamente acima. Em outras palavras, as posições dos pivôs formam colunas de índice estritamente crescente quando descemos nas linhas.
Em cada coluna que contém um pivot, todos os elementos abaixo desse pivot são zeros (ou seja, abaixo de um pivot não pode haver valores não nulos).
Observações importantes e esclarecedoras (muito úteis para a prova):
Não é exigido que o pivot seja igual a 1. Exigir pivôs iguais a 1 e também que acima dos pivôs haja zeros é a definição de forma reduzida por linhas (reduced row-echelon form), que é mais forte. Aqui, só queremos a forma escalonada por linhas (menos restritiva).
Para verificar rapidamente: percorrer as linhas de cima para baixo, para cada linha não nula identificar a primeira coluna com entrada não nula; verificar se esses índices de coluna aumentam e se abaixo de cada pivot todas as entradas são zero; por fim, checar se as linhas nulas (se houver) estão no final.
Passo 3
Vou exemplificar o procedimento de verificação passo a passo para que você possa aplicar na prova sem erro:
Etapa 1: Para cada linha, escreva a posição (índice da coluna) do primeiro elemento não nulo. Para uma linha nula, anote “nula”.
Etapa 2: Verifique se todas as linhas marcadas “nula” estão depois (abaixo) das linhas não nulas. Se alguma linha nula aparecer antes de uma não nula -> falha na propriedade 1.
Etapa 3: Verifique se as posições dos primeiros elementos não nulos (para linhas não nulas) formam uma sequência estritamente crescente quando descemos pelas linhas. Se algum índice não aumentar estritamente -> falha na propriedade 2.
Etapa 4: Para cada pivot encontrado (posição identificada na Etapa 1), verifique os elementos abaixo dele na mesma coluna. Se alguma dessas entradas abaixo for diferente de zero -> falha na propriedade 3.
Exemplo rápido (imaginário) para fixar: se as primeiras colunas não nulas das linhas 1,2,3 forem 1,2,3 respectivamente e não houver linhas nulas no meio, e se todas entradas abaixo de cada pivot forem zeros, então está em forma escalonada.
Passo 4
Verificação detalhada para a matriz A.
Escrevendo as linhas de A:
Linha 1: (1,0,0). Primeiro elemento não nulo está na coluna 1.
Linha 2: (0,1,0). Primeiro elemento não nulo está na coluna 2.
Linha 3: (0,1,1). Primeiro elemento não nulo está na coluna 2.
Aplicando as etapas de verificação:
Propriedade 1 (linhas nulas embaixo): não há linhas nulas em A, logo a propriedade 1 é satisfeita.
Propriedade 2 (índices dos pivôs estritamente crescentes): os índices das primeiras entradas não nulas são 1,2,2. Essa sequência não é estritamente crescente porque o terceiro índice é 2, igual ao da linha anterior. Portanto, a propriedade 2 é violada.
Propriedade 3 (zeros abaixo dos pivôs): o pivot da linha 2 está na coluna 2; abaixo dele, o elemento em linha 3 coluna 2 é 1, que é diferente de zero. Logo, a propriedade 3 também é violada.
Conclusão para A: não está na forma escalonada por linhas. As propriedades 2 e 3 não são satisfeitas (pivot da terceira linha não está à direita do pivot da segunda linha, e existe um elemento não nulo abaixo do pivot da segunda linha).
Passo 5
Verificação detalhada para a matriz B.
Escrevendo as linhas de B:
Linha 1: (1,1,0). Primeiro elemento não nulo na coluna 1.
Linha 2: (0,1,1). Primeiro elemento não nulo na coluna 2.
Linha 3: (0,0,0). Linha nula.
Aplicando as etapas de verificação:
Propriedade 1: a única linha nula é a linha 3, que está abaixo das linhas não nulas — propriedade 1 satisfeita.
Propriedade 2: índices dos primeiros elementos não nulos são 1,2 (ignorando a linha nula). Eles aumentam estritamente (1<2) — propriedade 2 satisfeita.
Propriedade 3: abaixo do pivot da linha 1 (coluna 1) as entradas nas linhas 2 e 3 são 0 e 0; abaixo do pivot da linha 2 (coluna 2) a entrada na linha 3 é 0. Todas são zeros — propriedade 3 satisfeita.
Conclusão para B: B está em forma escalonada por linhas.
Passo 6
Verificação detalhada para a matriz C.
Escrevendo as linhas de C:
Linha 1: (1,0,1). Primeiro elemento não nulo na coluna 1.
Linha 2: (0,0,1). Primeiro elemento não nulo na coluna 3.
Linha 3: (0,0,0). Linha nula.
Aplicando as etapas de verificação:
Propriedade 1: a linha nula é a linha 3 e está abaixo das não nulas — propriedade 1 satisfeita.
Propriedade 2: índices dos primeiros elementos não nulos são 1,3; 1<3 então aumentam estritamente — propriedade 2 satisfeita.
Propriedade 3: abaixo do pivot da linha 1 (coluna 1) as entradas nas linhas 2 e 3 são 0 e 0; abaixo do pivot da linha 2 (coluna 3) a entrada na linha 3 é 0. Todas zeros — propriedade 3 satisfeita.
Conclusão para C: C está em forma escalonada por linhas.
Passo 7
Resumo prático e dica de prova (motivação e ânimo):
Resultado: das três, B e C estão em forma escalonada por linhas; A não.
Dica rápida para a prova: basta localizar o primeiro elemento não nulo de cada linha e checar três coisas: (i) linhas nulas no final; (ii) esses primeiros índices crescem estritamente; (iii) abaixo de cada primeiro elemento não nulo só há zeros. Se qualquer checagem falhar, já dá para justificar rapidamente por qual propriedade a matriz não está escalonada. Confia: com esse procedimento você resolve em poucos segundos.
Resposta
(a) Uma matriz está em forma escalonada por linhas se satisfaz as três propriedades:
todas as linhas nulas aparecem abaixo das linhas não nulas;
o primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula está estritamente à direita do pivot da linha acima;
em cada coluna de pivot, todos os elementos abaixo do pivot são zeros.
(b) A: não está em forma escalonada por linhas — viola as propriedades 2 e 3 (os pivots das linhas 2 e 3 ficam na mesma coluna e há um elemento não nulo abaixo do pivot da linha 2). B: está em forma escalonada por linhas. C: está em forma escalonada por linhas.