A pergunta é sobre existências de soluções (pode ser solução única, infinitas ou nenhuma) dependendo de m.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática, como agir na prova). Para um sistema linear quadrado \,A x = b com A3\times3:
Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e existe uma única solução para qualquer vetor b. Isto é rápido e prático na prova: calcule o determinante; se não for zero, acabou — existe solução única.
Se \det(A)=0, então A não é inversível e pode ocorrer duas situações: ou o sistema tem infinitas soluções (se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<3) ou não tem solução (se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b])). Nesse caso é preciso analisar a consistência por eliminação (ou comparando postos).
Vou primeiro calcular \det(A). Se for diferente de zero já tenho a resposta; se for zero, farei eliminação de gauss para verificar consistência.
Passo 3
Cálculo do determinante de A. Vou usar a regra de Sarrus/expansão por co-fatores na primeira linha (mostrando passo a passo):
Interpretação do determinante (a parte “fácil” da prova). Como \det(A)=m-1:
Se m\neq 1 então \det(A)\neq 0, a matriz A é inversível e o sistema tem exatamente uma solução (para todo b). Não é preciso fazer mais contas: existe solução única.
Resta analisar o caso crítico m=1, onde \det(A)=0. Nesse caso a matriz não é inversível e pode haver ou infinitas soluções ou nenhuma; preciso checar consistência.
Passo 5
Análise do caso m=1\) por eliminação de Gauss (mostrar contradição se houver). Para \(m=1\) o sistema fica
\[\begin{cases} x+y+z=2\\[4pt] 3x+4y+2z=1\\[4pt] 2x+3y+z=1. \end{cases}
Vou montar a matriz aumentada e fazer operações elementares (tudo passo a passo):
Então aparece a linha (0\\\ 0\\\ 0\mid 2), que corresponde à equação 0=2, impossível. Isso significa que o sistema é inconsistente quando m=1: não há nenhuma solução.
Do ponto de vista de postos: para m=1 a \operatorname{rank}(A)=2 mas \operatorname{rank}([A|b])=3, logo \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]) e não há solução.]
Passo 6
Conclusão final (síntese do raciocínio para lembrar na prova):
Calculei \det(A)=m-1. Logo se m\neq 1 a matriz é inversível e o sistema tem solução (única).
Para m=1 a matriz não é inversível e a eliminação leva a uma contradição 0=2, então não há solução nesse caso.