Para que valores de m o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+m z=2 \\\\ 3 x+4 y+2 z=m \\\\ 2 x+3 y+z=1\end{array}\right. admite solução?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+y+m z=2\\[4pt] 3x+4y+2z=m\\[4pt] 2x+3y+z=1 \end{cases}
e pede: para que valores de m esse sistema admite solução?
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\[4pt] 3 & 4 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
  • O vetor de termos independentes (lado direito) é
b=\begin{pmatrix}2\\[4pt] m\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
A pergunta é sobre existências de soluções (pode ser solução única, infinitas ou nenhuma) dependendo de m.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática, como agir na prova). Para um sistema linear quadrado \,A x = b com A 3\times3:
  • Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e existe uma única solução para qualquer vetor b. Isto é rápido e prático na prova: calcule o determinante; se não for zero, acabou — existe solução única.
  • Se \det(A)=0, então A não é inversível e pode ocorrer duas situações: ou o sistema tem infinitas soluções (se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<3) ou não tem solução (se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b])). Nesse caso é preciso analisar a consistência por eliminação (ou comparando postos).
    Vou primeiro calcular \det(A). Se for diferente de zero já tenho a resposta; se for zero, farei eliminação de gauss para verificar consistência.

Passo 3

Cálculo do determinante de A. Vou usar a regra de Sarrus/expansão por co-fatores na primeira linha (mostrando passo a passo):
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} +m\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-2\cdot3=4-6=-2,
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-2\cdot2=3-4=-1,
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-4\cdot2=9-8=1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-2)-1\cdot(-1)+m\cdot1=-2+1+m=m-1.]

Passo 4

Interpretação do determinante (a parte “fácil” da prova). Como \det(A)=m-1:
  • Se m\neq 1 então \det(A)\neq 0, a matriz A é inversível e o sistema tem exatamente uma solução (para todo b). Não é preciso fazer mais contas: existe solução única.
  • Resta analisar o caso crítico m=1, onde \det(A)=0. Nesse caso a matriz não é inversível e pode haver ou infinitas soluções ou nenhuma; preciso checar consistência.

Passo 5

Análise do caso m=1\) por eliminação de Gauss (mostrar contradição se houver). Para \(m=1\) o sistema fica \[\begin{cases} x+y+z=2\\[4pt] 3x+4y+2z=1\\[4pt] 2x+3y+z=1. \end{cases}
Vou montar a matriz aumentada e fazer operações elementares (tudo passo a passo):
[A|b]= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 3 & 4 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right).
Eliminação:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\]: \[R_2: \\ (3-3\cdot1,\\\ 4-3\cdot1,\\\ 2-3\cdot1,\\\ 1-3\cdot2) = (0,\\\ 1,\\\ -1,\\\ -5).\] - Faço \(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3: \\ (2-2\cdot1,\\\ 3-2\cdot1,\\\ 1-2\cdot1,\\\ 1-2\cdot2) = (0,\\\ 1,\\\ -1,\\\ -3).
A nova matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -3 \end{array}\right).
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
R_3: (0-0,\\\ 1-1,\\\ -1-(-1),\\\ -3-(-5)) = (0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 2).
Então aparece a linha (0\\\ 0\\\ 0\mid 2), que corresponde à equação 0=2, impossível. Isso significa que o sistema é inconsistente quando m=1: não há nenhuma solução.
Do ponto de vista de postos: para m=1 a \operatorname{rank}(A)=2 mas \operatorname{rank}([A|b])=3, logo \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]) e não há solução.]

Passo 6

Conclusão final (síntese do raciocínio para lembrar na prova):
  • Calculei \det(A)=m-1. Logo se m\neq 1 a matriz é inversível e o sistema tem solução (única).
  • Para m=1 a matriz não é inversível e a eliminação leva a uma contradição 0=2, então não há solução nesse caso.

Resposta

\,m\neq 1

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