Q9: Considere o sistema linear A \vec{x}=\vec{b}. Após aplicar algumas operaçōes para escalonar a matriz ampliada do sistema obtemos a matriz E, de forma que:
[A \mid \vec{b}] \sim E=\left[\begin{array}{rrrrrrr|r} 2 & -3 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & -2 \\\\ 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right]
A dimensão do conjunto-solução do sistema é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7

Passo 1

O enunciado dá um sistema A\vec{x}=\vec{b} com 7 incógnitas e, após escalonar, obtém-se a matriz aumentada
E=\left[\begin{array}{rrrrrrr|r} 2 & -3 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & -2 \\\\ 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right].
Queremos a dimensão do conjunto-solução, que para sistemas lineares é dada pelo número de variáveis livres. Para isso precisamos do posto da matriz de coeficientes (número de pivôs) e da contagem de incógnitas.

Passo 2

Em E os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 7 da parte de coeficientes. Portanto o posto da matriz A é
\mathrm{rank}(A)=3.

Passo 3

Não há linha contraditória (tipo [0\;\cdots\;0\mid c] com c\neq0), logo o sistema é compatível. O número de variáveis livres é
7 - \mathrm{rank}(A) \;=\;7 - 3\;=\;4.
Assim, a dimensão do conjunto-solução é 4.

Resposta

(C)

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