Q8: Considere as retas em \mathbb{R}^{2} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -14 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\} e} \\\ & \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 4 x+2 y=-18\right\} \end{aligned}
Calcule o ponto (x, y) em que estas duas retas se interceptam. O valor da entrada x e:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^2:
a reta L_1 no formato paramétrico
L_1:\;\begin{pmatrix}-2\\\ -14\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3\\\ 3\end{pmatrix},
e a reta L_2 definida implicitamente por
L_2:\;4x + 2y = -18.
Queremos o ponto de interseção, ou seja, o valor de t tal que o par (x,y) de L_1 satisfaça a equação de L_2.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de L_1 em função de t:
x = -2 + 3t, \quad y = -14 + 3t.
Substituímos essas expressões em 4x + 2y = -18.

Passo 3

Substituindo em 4x + 2y = -18 obtemos
4(-2 + 3t) + 2(-14 + 3t) = -18.
Desenvolvendo,
-8 + 12t -28 + 6t = -18 \quad\Longrightarrow\quad 18t - 36 = -18.
Logo,
18t = 18 \quad\Longrightarrow\quad t = 1.

Passo 4

Com t=1, o ponto de interseção é
x = -2 + 3\cdot1 = 1, \quad y = -14 + 3\cdot1 = -11.
Verificação rápida: 4\cdot1 + 2\cdot(-11) = 4 - 22 = -18, confere.

Resposta

(E) \,1

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