Considere o sistema LIT representado por: h[n]=2^{n} u(-n). Responda: (1,0)
O Sistema é BIBO estável? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o impulso (resposta ao impulso) do sistema LIT:
h[n]=2^{n}\,u(-n).
A pergunta é: o sistema é BIBO estável? (Pede-se uma justificativa.)
Informações explícitas extraídas do enunciado:
  • h[n] é a resposta ao impulso do sistema.
  • A função u(-n) é a versão deslocada/espelhada do degrau unitário; isto significa que u(-n)=1 para n\le 0 e u(-n)=0 para n>0.
  • Portanto, a expressão vale efetivamente
h[n]=\begin{cases}2^{n},& n\le 0,\\[4pt]0,& n>0.\end{cases}]

Passo 2

O que é BIBO estabilidade (numa linguagem direta)?
Um sistema LIT é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. “Entrada limitada” significa que existe uma constante B_x tal que |x[n]|\le B_x para todo n. “Saída limitada” significa que existe uma constante B_y tal que |y[n]|\le B_y para todo n.
Para sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT) em tempo discreto existe um critério simples e muito usado: o sistema é BIBO estável se, e somente se, a resposta ao impulso for absolutamente somável, isto é,
\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]| < \infty.
Vou explicar por quê esse critério funciona.

Passo 3

Demonstração curta e didática do critério (por que a somabilidade absoluta garante BIBO):
  • Para um sistema LIT discreto, a saída é dada pela convolução
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].
  • Tomando módulo e usando desigualdade triangular:
|y[n]|\le \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|\;|x[n-k]|.
  • Se a entrada é limitada, existe B_x com |x[m]|\le B_x para todo m. Substituindo:
|y[n]|\le \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|\;B_x = B_x\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|.
  • Logo, se \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]| for finita, então |y[n]| é limitada por B_x vezes essa soma finita, independente de n. Assim a saída é limitada e o sistema é BIBO estável.
Esse argumento mostra que a condição de somabilidade absoluta é suficiente. Para LIT discreto ela é também necessária (mas aqui não é preciso provar a necessidade detalhadamente para resolver o exercício).

Passo 4

Aplicando o critério ao h[n] dado: calcular a soma absoluta
S=\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|=\sum_{n=-\infty}^{\infty} |2^{n} u(-n)|.
Como u(-n)=0 para n>0 e u(-n)=1 para n\le 0, fica
S=\sum_{n=-\infty}^{0} 2^{n}.
Observe que para n\le 0 temos 2^{n}>0, então o módulo não altera os termos.

Passo 5

Calcular explicitamente a soma geométrica:
  • Escrevendo uma soma parcial com limite inferior -N e depois fazendo N\to\infty:
S_N=\sum_{n=-N}^{0} 2^{n}=2^{0}+2^{-1}+2^{-2}+\cdots+2^{-N}.
  • Essa é uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão r=\tfrac{1}{2}. A soma dos primeiros N+1 termos é
S_N=\frac{1-r^{\,N+1}}{1-r}=\frac{1-(1/2)^{\,N+1}}{1-1/2}=2\bigl(1-(1/2)^{\,N+1}\bigr).
  • Fazendo N\to\infty, o termo (1/2)^{\,N+1}\to 0. Portanto
S=\lim_{N\to\infty} S_N=2.
Assim a soma absoluta é finita e igual a 2.

Passo 6

Conclusão usando o critério: como
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|=2<\infty,
a resposta ao impulso é absolutamente somável. Pelo argumento do Passo 3, isso implica que o sistema é BIBO estável.
Um comentário didático rápido (para fixar): se, em vez de 2^{n}u(-n), tivéssemos 2^{n}u[n] (ou seja, 2^{n} para n\ge 0), a soma \sum_{n=0}^{\infty}2^{n} diverge e o sistema seria instável. Aqui o fato de os termos não crescerem para n\to-\infty (eles decaem geometricamente) é o que garante a estabilidade.

Resposta

Sim. O sistema é BIBO estável.

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