Considere o sistema LIT representado por:
. Responda:
O Sistema é BIBO estável? Justifique.
O Sistema é BIBO estável? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o impulso (resposta ao impulso) do sistema LIT:
A pergunta é: o sistema é BIBO estável? (Pede-se uma justificativa.)
Informações explícitas extraídas do enunciado:
-
é a resposta ao impulso do sistema. - A função
é a versão deslocada/espelhada do degrau unitário; isto significa que para e para . - Portanto, a expressão vale efetivamente
Passo 2
O que é BIBO estabilidade (numa linguagem direta)?
Um sistema LIT é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. “Entrada limitada” significa que existe uma constante tal que
para todo
. “Saída limitada” significa que existe uma constante
tal que
para todo
.
Um sistema LIT é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. “Entrada limitada” significa que existe uma constante
Para sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT) em tempo discreto existe um critério simples e muito usado: o sistema é BIBO estável se, e somente se, a resposta ao impulso for absolutamente somável, isto é,
Vou explicar por quê esse critério funciona.
Passo 3
Demonstração curta e didática do critério (por que a somabilidade absoluta garante BIBO):
- Para um sistema LIT discreto, a saída é dada pela convolução
- Tomando módulo e usando desigualdade triangular:
- Se a entrada é limitada, existe
com para todo . Substituindo:
- Logo, se
for finita, então é limitada por vezes essa soma finita, independente de . Assim a saída é limitada e o sistema é BIBO estável.
Esse argumento mostra que a condição de somabilidade absoluta é suficiente. Para LIT discreto ela é também necessária (mas aqui não é preciso provar a necessidade detalhadamente para resolver o exercício).
Passo 4
Aplicando o critério ao
dado: calcular a soma absoluta
Como
para
e
para
, fica
Observe que para
temos
, então o módulo não altera os termos.
Passo 5
Calcular explicitamente a soma geométrica:
- Escrevendo uma soma parcial com limite inferior
e depois fazendo :
- Essa é uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão . A soma dos primeiros termos é
- Fazendo
, o termo . Portanto
Assim a soma absoluta é finita e igual a
.
Passo 6
Conclusão usando o critério: como
a resposta ao impulso é absolutamente somável. Pelo argumento do Passo 3, isso implica que o sistema é BIBO estável.
Um comentário didático rápido (para fixar): se, em vez de
, tivéssemos
(ou seja,
para
), a soma
diverge e o sistema seria instável. Aqui o fato de os termos não crescerem para
(eles decaem geometricamente) é o que garante a estabilidade.
Resposta
Sim. O sistema é BIBO estável.