Determine se os sinais a seguir são periódicos. Em caso afirmativo, determine o período fundamental.
Passo 1
O enunciado dá o sinal discreto
As perguntas são:
- O sinal
é periódico? - Se for periódico, qual é o período fundamental?
Informações relevantes dadas:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
Passo 2
Conceito chave (explicado passo a passo): quando um sinal discreto de tempo
tem a forma
ou
, ele é periódico se e somente se existir um inteiro positivo
tal que
para algum inteiro
. Isso significa que a razão
deve ser um número racional (um quociente de inteiros). O menor
que satisfaz essa igualdade (para algum inteiro
) é o período fundamental do termo.
Por que isso? Porque se
então, por exemplo,
já que as funções trigonométricas são
-periódicas. Portanto o sinal repete a cada
amostras.
Em termos práticos: para cada termo calcular
, verificar
e achar o menor
tal que
é múltiplo inteiro de
.
Passo 3
Analisar o primeiro termo
.
- Aqui
. - Exigência de periodicidade: existe
inteiro e tal que
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por
:
O menor
ocorre para
, portanto
Comentário didático: a fase
não altera a existência do período; apenas desloca o sinal, mas a condição sobre
é que determine repetições em
.
Passo 4
Analisar o segundo termo
.
- Aqui
. - Procuramos
inteiro e tais que
Substituindo
:
Dividindo por
:
O menor
ocorre para
, portanto
Passo 5
Agora o sinal
é soma de dois sinais periódicos com períodos
e
. A soma de dois sinais periódicos é periódica se existir um inteiro positivo
que seja período comum dos dois componentes, ou seja,
múltiplo de
e de
. O menor período comum é o mínimo múltiplo comum, MMC (ou LCM em inglês).
Calcule o MMC de
e
. Fatorando:
O MMC toma a maior potência de cada primo:
Alternativamente usar
. Aqui
, então
.
Portanto o menor
que é múltiplo de
e
é
. Logo a soma é periódica com período fundamental
.
Passo 6
Verificação direta (cheia de confiança): mostrar que
.
- Para o primeiro termo:
Como
, temos
, então esse termo se repete.
- Para o segundo termo:
Como
,
, então esse termo também se repete.
Assim
para todo
. Pelo passo 5, não existe um período comum positivo menor que
porque qualquer período comum deve ser múltiplo de
e de
.
Resposta
Sim.