Determine se os sinais a seguir são periódicos. Em caso afirmativo, determine o período fundamental.
z[n]=\cos \left(\frac{\pi n}{6}+\frac{3}{4}\right)+2 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi n}{16}\right)

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto
z[n]=\cos\!\left(\frac{\pi n}{6}+\frac{3}{4}\right)+2\sin\!\left(\frac{\pi n}{16}\right)
As perguntas são:
  • O sinal z[n] é periódico?
  • Se for periódico, qual é o período fundamental?
Informações relevantes dadas:
  • Primeiro termo: \cos\!\left(\dfrac{\pi n}{6}+\dfrac{3}{4}\right).
  • Segundo termo: 2\sin\!\left(\dfrac{\pi n}{16}\right).

Passo 2

Conceito chave (explicado passo a passo): quando um sinal discreto de tempo n tem a forma \cos(\omega n+\varphi) ou \sin(\omega n+\varphi), ele é periódico se e somente se existir um inteiro positivo N tal que
\omega N = 2\pi k
para algum inteiro k. Isso significa que a razão \dfrac{\omega}{2\pi} deve ser um número racional (um quociente de inteiros). O menor N>0 que satisfaz essa igualdade (para algum inteiro k) é o período fundamental do termo.
Por que isso? Porque se \omega N = 2\pi k então, por exemplo,
\cos(\omega (n+N)+\varphi)=\cos(\omega n + \omega N +\varphi)=\cos(\omega n + 2\pi k +\varphi)=\cos(\omega n+\varphi),
já que as funções trigonométricas são 2\pi-periódicas. Portanto o sinal repete a cada N amostras.
Em termos práticos: para cada termo calcular \omega, verificar \dfrac{\omega}{2\pi} e achar o menor N tal que \omega N é múltiplo inteiro de 2\pi.

Passo 3

Analisar o primeiro termo \cos\!\left(\dfrac{\pi n}{6}+\dfrac{3}{4}\right).
  • Aqui \omega_1=\dfrac{\pi}{6}.
  • Exigência de periodicidade: existe N_1>0 inteiro e k_1\in\mathbb{Z} tal que
\omega_1 N_1 = 2\pi k_1.
Substituindo \omega_1:
\frac{\pi}{6}N_1 = 2\pi k_1.
Dividindo ambos os lados por \pi:
\frac{1}{6}N_1 = 2 k_1 \quad\Rightarrow\quad N_1 = 12 k_1.
O menor N_1>0 ocorre para k_1=1, portanto
N_1=12.
Comentário didático: a fase \dfrac{3}{4} não altera a existência do período; apenas desloca o sinal, mas a condição sobre \omega é que determine repetições em n.

Passo 4

Analisar o segundo termo 2\sin\!\left(\dfrac{\pi n}{16}\right).
  • Aqui \omega_2=\dfrac{\pi}{16}.
  • Procuramos N_2>0 inteiro e k_2\in\mathbb{Z} tais que
\omega_2 N_2 = 2\pi k_2.
Substituindo \omega_2:
\frac{\pi}{16}N_2 = 2\pi k_2.
Dividindo por \pi:
\frac{1}{16}N_2 = 2 k_2 \quad\Rightarrow\quad N_2 = 32 k_2.
O menor N_2>0 ocorre para k_2=1, portanto
N_2=32.

Passo 5

Agora o sinal z[n] é soma de dois sinais periódicos com períodos N_1=12 e N_2=32. A soma de dois sinais periódicos é periódica se existir um inteiro positivo N que seja período comum dos dois componentes, ou seja, N múltiplo de N_1 e de N_2. O menor período comum é o mínimo múltiplo comum, MMC (ou LCM em inglês).
Calcule o MMC de 12 e 32. Fatorando:
12=2^2\cdot 3,\qquad 32=2^5.
O MMC toma a maior potência de cada primo:
\operatorname{MMC}(12,32)=2^5\cdot 3 = 32\cdot 3 = 96.
Alternativamente usar \operatorname{MMC}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}. Aqui \gcd(12,32)=4, então \dfrac{12\cdot 32}{4}=96.
Portanto o menor N que é múltiplo de 12 e 32 é N=96. Logo a soma é periódica com período fundamental 96.

Passo 6

Verificação direta (cheia de confiança): mostrar que z[n+96]=z[n].
  • Para o primeiro termo:
\cos\!\left(\frac{\pi (n+96)}{6}+\frac{3}{4}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi n}{6} + \frac{\pi\cdot 96}{6} +\frac{3}{4}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi n}{6} + 16\pi +\frac{3}{4}\right).
Como 16\pi=8\cdot 2\pi, temos \cos(\theta+16\pi)=\cos\theta, então esse termo se repete.
  • Para o segundo termo:
2\sin\!\left(\frac{\pi (n+96)}{16}\right) = 2\sin\!\left(\frac{\pi n}{16} + \frac{\pi\cdot 96}{16}\right) = 2\sin\!\left(\frac{\pi n}{16} + 6\pi\right).
Como 6\pi=3\cdot 2\pi, \sin(\theta+6\pi)=\sin\theta, então esse termo também se repete.
Assim z[n+96]=z[n] para todo n. Pelo passo 5, não existe um período comum positivo menor que 96 porque qualquer período comum deve ser múltiplo de 12 e de 32.

Resposta

Sim.
N=96

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