Determine se os sinais a seguir são periódicos. Em caso afirmativo, determine o período fundamental.
x(t)=2 \operatorname{sen}(5 \pi t+15)+\cos (15 \pi)

Passo 1

O enunciado fornece o sinal
x(t)=2\operatorname{sen}\bigl(5\pi t+15\bigr)+\cos\bigl(15\pi\bigr)
e pede para determinar se esse sinal é periódico e, em caso afirmativo, encontrar o período fundamental.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parte dependente de t é \;2\operatorname{sen}\bigl(5\pi t+15\bigr).
  • Há um termo constante \;\cos\bigl(15\pi\bigr).
  • Deve-se decidir periodicidade de x(t) e, se for periódico, achar o período fundamental.

Passo 2

Calcular o termo constante \cos\bigl(15\pi\bigr).
Usar a identidade \cos\bigl(k\pi\bigr)=(-1)^k para inteiros k. Aqui k=15 é inteiro, logo
\cos\bigl(15\pi\bigr)=(-1)^{15}=-1.

Passo 3

Substituir o valor do termo constante no sinal. Assim
x(t)=2\operatorname{sen}\bigl(5\pi t+15\bigr)-1.

Passo 4

Relembrar a definição e a fórmula útil para senóides.
Definição de periódico: uma função f(t) é periódica se existe T>0 tal que, para todo t,
f(t+T)=f(t).
Para uma senóide da forma \operatorname{sen}\bigl(\omega t+\varphi\bigr) (onde \omega é a frequência angular e \varphi a fase), um período válido é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicação curta do porquê: como \operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}(\theta), se \theta=\omega t+\varphi então para T tal que \omega T=2\pi tem-se \operatorname{sen}(\omega(t+T)+\varphi)=\operatorname{sen}(\omega t+\varphi).
Observação importante sobre a fase \varphi: ela desloca a função no tempo, mas não altera o período, pois o período vem de quantos radianos a variável de fase precisa avançar para repetir.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao termo \operatorname{sen}\bigl(5\pi t+15\bigr).
Aqui a frequência angular é \omega=5\pi. Portanto um período é
T_0=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{5\pi}=\frac{2}{5}.
Em forma decimal, \dfrac{2}{5}=0,4.

Passo 6

Verificar efeito do termo constante sobre a periodicidade.
Uma função constante (aqui -1) é periódica com qualquer período T>0 porque -1=(-1) para todo t. A soma de uma função periódica com período T_0 e uma constante é periódica com o mesmo período T_0. Portanto x(t) é periódico com período T_0=\dfrac{2}{5}.

Passo 7

Verificar que não existe um período positivo menor que T_0 que funcione para x(t).
A senóide \operatorname{sen}(\omega t+\varphi) tem período fundamental T_0=\dfrac{2\pi}{\omega}. Ela tem também a propriedade \operatorname{sen}(\theta+\pi)=-\operatorname{sen}(\theta), o que daria uma “meia-período” T_{\text{meia}}=\dfrac{\pi}{\omega}=\dfrac{1}{5}. Porém, ao deslocar por T_{\text{meia}} obtemos
x(t+T_{\text{meia}})=2\bigl(-\operatorname{sen}(5\pi t+15)\bigr)-1=-2\operatorname{sen}(5\pi t+15)-1,
que não é igual a x(t)=2\operatorname{sen}(5\pi t+15)-1 para todo t (a menos que a senóide fosse zero para todo t, o que não é o caso). Logo T_{\text{meia}} não é período de x(t). Portanto o período fundamental de x(t) é realmente T_0=\dfrac{2}{5}.

Resposta

x(t) é periódico e o período fundamental é T=\dfrac{2}{5}=0,4.

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