Determine se os sinais a seguir são periódicos. Em caso afirmativo, determine o período fundamental.
Passo 1
O enunciado fornece o sinal
e pede para determinar se esse sinal é periódico e, em caso afirmativo, encontrar o período fundamental.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parte dependente de
é . - Há um termo constante
. - Deve-se decidir periodicidade de
e, se for periódico, achar o período fundamental.
Passo 2
Calcular o termo constante
.
Usar a identidade
para inteiros
. Aqui
é inteiro, logo
Passo 3
Substituir o valor do termo constante no sinal. Assim
Passo 4
Relembrar a definição e a fórmula útil para senóides.
Definição de periódico: uma função
é periódica se existe
tal que, para todo
,
Para uma senóide da forma
(onde
é a frequência angular e
a fase), um período válido é
Explicação curta do porquê: como
, se
então para
tal que
tem-se
.
Observação importante sobre a fase
: ela desloca a função no tempo, mas não altera o período, pois o período vem de quantos radianos a variável de fase precisa avançar para repetir.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao termo
.
Aqui a frequência angular é
. Portanto um período é
Em forma decimal,
.
Passo 6
Verificar efeito do termo constante sobre a periodicidade.
Uma função constante (aqui
) é periódica com qualquer período
porque
para todo
. A soma de uma função periódica com período
e uma constante é periódica com o mesmo período
. Portanto
é periódico com período
.
Passo 7
Verificar que não existe um período positivo menor que
que funcione para
.
A senóide
tem período fundamental
. Ela tem também a propriedade
, o que daria uma “meia-período”
. Porém, ao deslocar por
obtemos
que não é igual a
para todo
(a menos que a senóide fosse zero para todo
, o que não é o caso). Logo
não é período de
. Portanto o período fundamental de
é realmente
.