Considere um sistema LIT de tempo contínuo cuja resposta em frequência é
H(j omega)=integral-infty^infty h(t) e^-j omega t d t=sen(4 omega)omega
Se a entrada desse sistema é um sinal periódico
x(t)= 1, & 0 <= t<4 -1, & 4 <= t<8
com período T=8, determine a saída correspondente do sistema y(t).

Passo 1

Estamos tratando de um sistema LTI contínuo cuja resposta em frequência é H(jomega)=sin(4omega)omega e que recebe um sinal periódico x(t) de período T=8. Para resolver, vamos usar séries de Fourier para representar x(t) e em seguida aplicar a filtragem pelo sistema.

Passo 2

Como primeiro passo, escrevemos x(t) em série de Fourier: x(t)=sumk=-infty^inftyCk,e^jkomega0t, onde a pulsação fundamental é omega0=2piT=pi4.
Em seguida, calculamos os coeficientes Ck via definição:
Ck=1Tintegral0^8 x(t)e^-jkomega0tdt = 18l(integral0^4 1,e^-jkomega0tdt + integral4^8 (-1),e^-jkomega0tdtr)

Passo 3

Fazendo as integrais e usando e^-jkomega0,4=e^-jkpi=(-1)^k, encontra-se
$$C_k=\frac{1-(-1)^k}{j k,\pi},.
$$Daí vem que para índices pares Ck=1-(-1)^kj k,pi, e para ímpares Ck=0.

Passo 4

Como o sistema é LTI, a saída é dada por y(t)=sumk Ck,H(jkomega0),e^jkomega0t. Só que
$$H(jk\omega_0)=\frac{\sin\bigl(4,k\omega_0\bigr)}{k\omega_0}
=\frac{\sin(\pi k)}{k\omega_0}=0\quad(\forall k\neq0), H(jkomega0)=sinl(4,komega0r)komega0 =sin(pi k)komega0=0(forall kneq0),éãáãôãy(t)=0$$

Resposta

y(t)=0

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