Há muito tempo, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a ideia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo
ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma ideia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiros foi de 29/17, qual era o número de moedas que havia originalmente no baú?

Passo 1

A questão conta uma história em que há um baú com um número inteiro de moedas, e três vezes (duas vezes de noite e uma de manhã) alguém divide as moedas em dois montes, sempre sobra exatamente uma moeda, que é descartada ou fica com o imediato. Depois de cada divisão, quem faz retira a sua metade e deixa o restante no baú para a próxima pessoa. No final, dá-se que a razão entre as moedas que o primeiro e o segundo marinheiro levaram é 29/17. Precisamos usar divisão com resto, montar equações e resolver a razão para encontrar o número inicial de moedas.

Passo 2

Vamos chamar de N o número de moedas originalmente no baú. Na primeira divisão de noite João (por exemplo) faz N=2a+1pois sobra 1 moeda. Ele joga essa moeda fora e fica com a moedas. Logo o que resta no baú é
N1=N - a - 1 = (2a+1)-a-1 = a

Passo 3

Na segunda divisão de noite, o segundo marinheiro encontra N1=a moedas e faz novamente duas pilhas com sobra 1 moeda, ou seja,
a = 2b+1Ele descarta essa moeda e leva b moedas, ficando no baú
N2 = a - b -1 = (2b+1)-b-1 = b

Passo 4

Pela manhã restam b moedas, e o imediato divide em dois montes com sobra 1 moeda:
b = 2c+1Ele fica com a moeda sobrante e dá a cada marinheiro c moedas.
Até aqui os totais que cada um pegou são: primeiro marinheiro a+c moedas e segundo marinheiro b+c moedas. Também vemos que
b=2c+1, a=2b+1=2(2c+1)+1=4c+3, N=2a+1=2(4c+3)+1=8c+7

Passo 5

Como a razão dada é
a+cb+c=2917,substituímos a=4c+3 e b=2c+1:
(4c+3)+c(2c+1)+c = 5c+33c+1 = 2917Fazendo produto cruzado:
17(5c+3) = 29(3c+1) implies 85c+51 = 87c+29 implies 2c = 22 implies c = 11

Passo 6

Finalmente, substituindo em N=8c+7 obtemos
N = 8cdot 11 + 7 = 88 + 7 = 95

Resposta

95

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