Sejam f e g funções reais definidas por
f(x)=ccc x^2+2 x+4 & se & x >= 1 3 x+4 & se & x<1 e g(x)=x-3
Determine as leis que definem f circ g e g circ f.

Passo 1

Neste exercício temos as funções definidas por
f(x)=x^2+2x+4, & x>=13x+4, & x<1 g(x)=x-3
O objetivo é achar as leis de composição fcirc g e gcirc f. O conteúdo principal aqui é composição de funções e análise de intervalos por causa da definição por partes de f.

Passo 2

Para calcular fcirc g lembramos que
fcirc g(x)=fl(g(x)r)=f(x-3)
Como f muda de expressão em x=1, precisamos ver quando g(x)=x-3 é maior ou igual a 1 (e quando é menor que 1).

Passo 3

Resolvendo a desigualdade x-3>=1 obtemos x>=4. Assim, para cada ramo de x:
Para x>=4, usamos o ramo quadrático de f:
f(g(x))=(x-3)^2+2(x-3)+4=x^2-6x+9+2x-6+4=x^2-4x+7
Para x<4, usamos o ramo linear de f:
f(g(x))=3(x-3)+4=3x-9+4=3x-5

Passo 4

Para calcular gcirc f fazemos
gcirc f(x)=gl(f(x)r)=f(x)-3
Novamente f tem dois ramos em x=1, então separam-se os casos x>=1 e x<1.

Passo 5

Para x>=1, o ramo de f é x^2+2x+4, logo:
g(f(x))=(x^2+2x+4)-3=x^2+2x+1
Para x<1, o ramo de f é 3x+4, então:
g(f(x))=(3x+4)-3=3x+1

Resposta

fcirc g(x)=x^2-4x+7,&x>=43x-5,&x<4e gcirc f(x)=x^2+2x+1,&x>=13x+1,&x<1

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